前序课件补漏与例题精讲

本文补充整理 2026 年 4 月 27 日至 6 月 10 日的前序课件，并结合课程进度推测 6 月 15 日缺失课件可能覆盖或强化的内容。

需要特别说明：

• 6 月 15 日目录中虽有课件文件，但其中只有课堂系统截图，没有有效教学内容；
• 以下“已讲知识点”和例题均来自此前的完整课件；
• “可能考什么”是根据章节推进、教师反复讲解的公式以及课件例题推测，不等于确定考题；
• 最后两节课的重点仍应配合 01、最后两节课例题精讲.md 一起复习。

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一、从课程进度推测缺失课次可能考什么

前序课件的知识推进大致如下：

传感器基本特性
  ↓
电阻应变式传感器与电桥
  ↓
电容式传感器
  ↓
电感式、差动变压器与电涡流传感器
  ↓
热电偶、霍尔、光电与编码器
  ↓
超声波检测
  ↓
测量误差与数据处理

6 月 8 日和 6 月 10 日已经进入“测量误差与数据处理”，6 月 17 日又回顾热电偶、补偿和超声波，6 月 22 日进行了综合例题复习。因此，缺失课次最可能承担以下作用：

1. 补完测量误差与数据处理，包括有效数字、系统误差削弱、误差传递；
2. 串联此前各类传感器的典型计算；
3. 强调差动结构、补偿电路和实际测量电路；
4. 为最后综合复习整理公式和题型。

据此，除了最后两节课明确出现的内容，还应重点防下面六类题。

优先级	知识点	最可能题型
很高	一阶、二阶传感器动态特性	简答、识图、参数含义
很高	电容式传感器	原理、线性化、位移或液位计算
很高	电感式传感器	电感、品质因数、等效电感综合计算
高	应变片温度误差及补偿	简答、画桥路、判断桥臂
高	霍尔元件、编码器和格雷码	简答、填空、编码转换
高	有效数字、系统误差和误差传递	判断、计算、方法简答

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二、传感器的动态特性

静态特性研究输入不随时间变化或变化很慢时，传感器输出是否准确；动态特性研究输入快速变化时，输出能不能及时跟随。

例如温度突然升高，温度传感器不会瞬间到达最终示值，而会经历一个响应过程。这个“跟得快不快、有没有超调、多久稳定”就是动态特性。

1. 一阶传感器

一阶传感器典型传递函数为：

$$H(s)=\frac{K}{\tau s+1}$$

其中：

• $K$ 为静态灵敏度；
• $\tau$ 为时间常数；
• $\tau$ 越小，传感器响应越快。

当输入为单位阶跃时，输出为：

$$y(t)=K\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$

当：

$$t=\tau$$

有：

$$y(\tau)=K(1-e^{-1})\approx0.632K$$

因此要直接记住：

一阶传感器受到阶跃输入后，经过一个时间常数 $\tau$，输出达到最终值的约 $63.2\%$。

经过约 $3\tau$ 时，输出达到最终值的 $95\%$ 左右；经过约 $5\tau$ 时，可认为基本稳定。

例题：由阶跃响应求时间常数

某一阶温度传感器最终稳定输出为 $100mV$。加阶跃温度后，经过 $2s$，输出达到 $63.2mV$，求时间常数。

因为：

$$\frac{63.2}{100}=63.2\%$$

一阶系统在 $t=\tau$ 时达到最终值的 $63.2\%$，所以：

$$\tau=2s$$

若问大约多久可基本稳定，可取：

$$t\approx5\tau=10s$$

2. 一阶传感器的频率响应

令 $s=j\omega$：

$$H(j\omega)=\frac{K}{1+j\omega\tau}$$

幅频特性：

$$|H(j\omega)|= \frac{K}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}$$

相频特性：

$$\varphi(\omega)=-\arctan(\omega\tau)$$

输入频率越高，输出幅值衰减越明显，相位滞后也越大。因此传感器必须具有足够宽的工作频带。

例题：判断能否不失真测量

某传感器的可用频率上限为 $100Hz$，现测量一个主要频率为 $20Hz$ 的信号。

由于：

$$20Hz<100Hz$$

输入处于传感器可用频带内，幅值失真通常较小，可以进行测量。若信号频率接近或超过 $100Hz$，输出将明显衰减，不能再认为是无失真测量。

3. 二阶传感器

二阶传感器典型传递函数为：

$$H(s)= \frac{K\omega_n^2} {s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$$

其中：

• $\omega_n$ 为固有角频率；
• $\zeta$ 为阻尼比；
• $K$ 为静态灵敏度。

阻尼比决定阶跃响应形状：

阻尼情况	特点
$0<\zeta<1$	欠阻尼，有超调和振荡
$\zeta=1$	临界阻尼，无振荡且响应较快
$\zeta>1$	过阻尼，无振荡但响应较慢

例题：由曲线判断系统性质

若二阶传感器受到阶跃输入后，输出越过最终值并来回振荡，最后才趋于稳定，则它属于欠阻尼系统：

$$0<\zeta<1$$

图中峰值超过最终稳定值的部分称为超调量，进入规定误差带并不再离开的时间称为调节时间或稳定时间。

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三、电阻应变片与温度补偿

应变片基本关系为：

$$K= \frac{\Delta R/R}{\varepsilon}$$

所以：

$$\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon$$ $$\Delta R=KR\varepsilon$$

1. 温度为什么会造成误差

温度变化会同时造成两类影响：

1. 应变片自身电阻随温度改变；
2. 应变片和被测构件热膨胀系数不同，产生附加应变。

即使被测件没有受到外力，电桥也可能产生输出，这就是温度误差。

2. 补偿片法

常用方法是设置一片与工作应变片参数相同的补偿片：

• 工作片粘贴在受力位置；
• 补偿片处于相同温度环境；
• 补偿片不承受被测机械应变；
• 两片接入电桥相邻桥臂。

温度引起的电阻变化近似相同，在电桥输出中相互抵消；机械应变只作用于工作片，因此仍能形成测量输出。

例题：应变片与单臂电桥

已知：

$$R_0=120\Omega,\quad K=2.05,\quad \varepsilon=800\mu\varepsilon,\quad U_i=3V$$

先换算应变：

$$800\mu\varepsilon=800\times10^{-6}$$

电阻相对变化量：

$$\frac{\Delta R}{R} =K\varepsilon =2.05\times800\times10^{-6} =1.64\times10^{-3}$$

电阻变化量：

$$\Delta R =R\frac{\Delta R}{R} =120\times1.64\times10^{-3} \approx0.197\Omega$$

单臂电桥近似输出：

$$U_o\approx \frac{U_i}{4}\frac{\Delta R}{R}$$

所以：

$$U_o= \frac{3}{4}\times1.64\times10^{-3} =1.23mV$$

这类题固定按照下面的公式链做：

应变 ε
  ↓
相对电阻变化 ΔR/R=Kε
  ↓
电阻变化 ΔR=KRε
  ↓
电桥输出

可能变式

若改成半桥或全桥，在桥臂变化方向安排正确时：

$$U_{o,\text{半桥}} \approx\frac{U_i}{2}\frac{\Delta R}{R}$$ $$U_{o,\text{全桥}} \approx U_i\frac{\Delta R}{R}$$

因此半桥灵敏度约为单臂的 2 倍，全桥约为单臂的 4 倍。

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四、电容式传感器

平行板电容器基本公式：

$$C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}$$

可改变三个参数：

类型	改变参数	常见用途
变间隙式	$d$	微小位移、压力、振动
变面积式	$S$	直线位移、角位移
变介质式	$\varepsilon_r$	液位、湿度、物料检测

1. 变间隙式的非线性

若初始间隙为 $d_0$，位移使间隙变为 $d_0-\Delta d$：

$$C= \frac{\varepsilon S}{d_0-\Delta d} =\frac{C_0}{1-\Delta d/d_0}$$

这不是线性关系。只有：

$$\left|\frac{\Delta d}{d_0}\right|\ll1$$

时，才能近似为：

$$\frac{\Delta C}{C_0} \approx \frac{\Delta d}{d_0}$$

所以变间隙式灵敏度高，但测量范围通常较小。

2. 差动结构

差动结构让一个电容增大、另一个电容减小。它可以：

• 提高灵敏度；
• 减小非线性；
• 抑制温度、电源等共同变化的影响；
• 判断位移方向。

例题：变间隙电容测微

已知：

$$r=4mm,\quad d_0=0.3mm,\quad \varepsilon_0=8.85\times10^{-12}F/m$$

初始电容：

$$C_0= \frac{\varepsilon_0\pi r^2}{d_0} \approx1.48pF$$

当：

$$\Delta d=\pm10\mu m$$

采用小位移近似：

$$\Delta C= C_0\frac{\Delta d}{d_0}$$

得到：

$$\Delta C\approx\pm0.049pF$$

若题目把从 $-10\mu m$ 到 $+10\mu m$ 的总变化量作为答案，则：

$$\Delta C'=2|\Delta C|=0.098pF$$

当：

$$\Delta d=\pm1\mu m,\quad K_u=100mV/pF$$

有：

$$\Delta C\approx\pm0.0049pF$$

输出：

$$U_o=K_u\Delta C =100\times(\pm0.0049) =\pm0.49mV$$

易错点

1. $mm$、$\mu m$ 和 $m$ 必须统一；
2. 要分清“相对初始位置的变化量”和“正负极限之间的总变化量”；
3. 小位移近似有使用条件，不能在位移很大时直接套用。

3. 同轴圆柱电容

同轴圆柱电容器：

$$C= \frac{2\pi\varepsilon H} {\ln(r_2/r_1)}$$

其中 $H$ 为有效高度。

液体进入后，介电常数从 $\varepsilon_0$ 变为：

$$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$$

因此可以利用电容变化测量液位和体积。

例题：电容式液位传感器

已知两圆柱直径为 $40mm$ 和 $8mm$，所以：

$$\frac{r_2}{r_1}=\frac{40}{8}=5$$

高度：

$$H=1.2m$$

空气中最小电容：

$$C_{\min}= \frac{2\pi\varepsilon_0H}{\ln5} \approx41.46pF$$

液体充满后：

$$C_{\max}= \varepsilon_rC_{\min} =2.1\times41.46 \approx87.07pF$$

储罐直径为 $0.5m$，最大体积：

$$V= \frac{\pi D^2}{4}H =\frac{\pi(0.5)^2}{4}\times1.2 \approx0.2356m^3$$

因为：

$$1m^3=1000L$$

所以：

$$V\approx235.6L$$

若用满量程电容变化除以满量程体积，灵敏度为：

$$S_C= \frac{C_{\max}-C_{\min}}{V} =\frac{87.07-41.46}{235.6} \approx0.194pF/L$$

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五、电感式传感器、差动变压器与电涡流

1. 气隙型自感传感器

忽略铁芯磁阻时，磁路磁阻主要由气隙决定，电感近似为：

$$L=\frac{\mu_0N^2S}{\delta}$$

其中：

• $N$ 为线圈匝数；
• $S$ 为气隙截面积；
• $\delta$ 为气隙总长度。

因为：

$$L\propto\frac{1}{\delta}$$

气隙减小，电感增大；气隙增大，电感减小。

2. 品质因数

线圈品质因数：

$$Q=\frac{\omega L}{R} =\frac{2\pi fL}{R}$$

$Q$ 越高，线圈的电感特性越明显，损耗相对越小。

3. 分布电容的影响

线圈实际存在分布电容。课件采用的等效电感关系为：

$$L_p= \frac{L}{1-\omega^2LC}$$

当工作频率接近谐振频率时，分母变小，等效参数会明显变化。因此电感传感器不能忽略工作频率和寄生电容。

例题：气隙型电感传感器综合题

已知：

$$S=4\times4mm^2,\quad \delta=0.8mm,\quad \Delta\delta=\pm0.08mm$$ $$N=2500,\quad d=0.06mm,\quad f=4000Hz,\quad C=200pF$$

初始电感：

$$L= \frac{\mu_0N^2S}{\delta} \approx157mH$$

当衔铁向气隙增大的方向移动时，课件按总气隙变化 $2\Delta\delta$ 计算：

$$L_+= \frac{\mu_0N^2S} {\delta+2\Delta\delta} \approx131mH$$

向气隙减小方向移动：

$$L_-= \frac{\mu_0N^2S} {\delta-2\Delta\delta} \approx196mH$$

正负极限之间的最大变化量：

$$\Delta L_{\max}=L_--L_+ =196-131 =65mH$$

课件进一步计算得到线圈直流电阻：

$$R\approx249.6\Omega$$

品质因数：

$$Q= \frac{2\pi fL}{R} \approx15.8$$

代入 $C=200pF$ 后，等效电感约为：

$$L_p\approx160mH$$

这是一道很典型的综合题，可能拆成多个小问：

1. 由磁路参数求电感；
2. 由位移求电感变化；
3. 由导线长度和截面积求电阻；
4. 求品质因数；
5. 考虑分布电容修正等效电感。

4. 差动变压器

差动变压器通常由一个初级线圈和两个反向串联的次级线圈构成：

             可移动铁芯
                  ↕
        ┌─────────────────┐
激励 →  │ 初级   次级1 次级2 │
        └─────────────────┘
                    │   │
                    └─反向串联─→ 输出

中间位置：

$$U_{21}=U_{22}$$

因此：

$$U_o=U_{21}-U_{22}=0$$

铁芯偏向一侧后，两个次级感应电压不再相等。输出幅值表示位移大小，相位表示位移方向。

例题：判断位移方向

若铁芯右移后 $U_{21}>U_{22}$，则：

$$U_o=U_{21}-U_{22}>0$$

若铁芯左移后 $U_{21}<U_{22}$，则输出反相。实际回答时要结合题图中两个次级线圈的绕向和输出定义，不能只背“左正右负”。

5. 电涡流传感器

高频线圈接近导体时，导体内部产生电涡流。电涡流的反磁场会改变线圈的等效电阻和电感。

常见用途：

• 非接触位移和间隙测量；
• 轴振动和转速测量；
• 金属厚度测量；
• 金属材料和表面缺陷检测。

例题：辨别影响因素

若探头线圈和金属板距离减小，耦合增强，电涡流增强，线圈等效阻抗变化更明显。因此可通过检测线圈阻抗反推出距离。

但更换金属材料后，即使距离不变，电导率和磁导率变化也会引起输出变化，所以使用前必须按被测材料标定。

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六、霍尔元件、光电器件与编码器

1. 霍尔效应

霍尔元件中通入控制电流 $I$，并施加垂直磁场 $B$，可在另一方向产生霍尔电压：

$$U_H=K_HIB$$

因此：

$$U_H\propto I,\qquad U_H\propto B$$

实际霍尔元件还存在：

• 不等位电势；
• 温度误差；
• 零位误差。

课件把霍尔元件等效为四臂电桥。不等位电势可理解为桥路初始不平衡输出，可通过外接电阻调零。

例题：霍尔电流测量

若磁路结构使磁感应强度与被测电流 $I_x$ 成正比：

$$B=kI_x$$

而霍尔元件控制电流保持恒定，则：

$$U_H=K_HI(kI_x)$$

所以：

$$U_H\propto I_x$$

这就是霍尔电流传感器实现电流到电压转换的基本原理。

2. 光电器件

复习时至少要区分：

器件	主要特征
光敏电阻	光照增强时电阻通常减小，响应相对较慢
光电二极管	常在反向偏置下工作，响应较快
光电三极管	具有电流放大作用，灵敏度较高
光电池	可直接产生光生电动势

例题：器件选择

若要求高速检测光脉冲，应优先考虑光电二极管；若主要追求较高灵敏度且速度要求不高，可考虑光电三极管；若是简单环境亮度检测，可使用光敏电阻。

3. 增量式编码器

若码盘每转产生 $N$ 个脉冲，脉冲频率为 $f$，则转速为：

$$n=\frac{60f}{N}$$

其中 $n$ 的单位为 $r/min$。

例题：由脉冲频率求转速

某编码器每转输出 $600$ 个脉冲，测得脉冲频率为 $3000Hz$：

$$n=\frac{60\times3000}{600} =300r/min$$

4. 绝对式编码器与格雷码

$m$ 位绝对式编码器共有：

$$2^m$$

个不同编码，理论角分辨力为：

$$\theta_{\min}=\frac{360^\circ}{2^m}$$

普通二进制码在相邻位置可能同时改变多位，码道切换不同步时容易出现较大读数错误。格雷码相邻编码只变化一位，因此抗过渡误码能力更好。

二进制码 $B$ 与格雷码 $G$ 的常用转换关系：

$$G=B\oplus(B\gg1)$$

格雷码转二进制时，从最高位开始逐位异或：

$$B_n=G_n$$ $$B_i=B_{i+1}\oplus G_i$$

例题：格雷码转二进制码

格雷码为：

$$G=0110$$

从最高位开始：

$$B_3=G_3=0$$ $$B_2=B_3\oplus G_2=0\oplus1=1$$ $$B_1=B_2\oplus G_1=1\oplus1=0$$ $$B_0=B_1\oplus G_0=0\oplus0=0$$

所以：

$$B=0100$$

即十进制数 $4$。

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七、有效数字、系统误差和误差传递

1. 有效数字

从第一个非零数字起，到误差允许保留的末位数字止，均为有效数字。

例如：

数值	有效数字位数
$3.1416$	5
$0.087$	2
$0.807$	3
$8700$	含义不明确，需用科学记数法说明
$8.7\times10^3$	2
$8.700\times10^3$	4

测量结果不能无依据地保留很多小数位。保留过多会虚构精度，保留过少会损失测量信息。

例题：按误差位数表达结果

若测量结果为：

$$x=12.3476$$

估计误差为：

$$\Delta x=\pm0.03$$

误差保留到百分位，测量值也应保留到百分位：

$$x=(12.35\pm0.03)$$

不能写成：

$$12.3476\pm0.03$$

因为后两位没有相应的测量精度支持。

2. 系统误差的特征

测量误差可写为：

$$\Delta x_i=\varepsilon_i+\delta_i$$

其中：

• $\varepsilon_i$ 为系统误差；
• $\delta_i$ 为随机误差。

随机误差多次平均后趋于抵消，而恒定系统误差不会因增加测量次数而自动消失。

3. 削弱系统误差的方法

替代法

先测未知量，再用已知标准量替代未知量，并使仪器示值保持相同。由于测量系统状态基本不变，可削弱固定系统误差。

交换法

交换被测量在测量系统中的位置，比较交换前后的结果，以消除位置、方向或通道差异造成的误差。

差动法

同时测量两个相近量并取差：

$$\Delta x=x_1-x_2$$

两路共同受到的误差可在相减时抵消。

对称测量法

在误差因素作用方向相反的两个状态下测量，取平均值消除奇对称误差。

微差法

把被测量与同量级标准量比较，只测量两者的微小差值。测量结果的准确度主要取决于标准量和差值测量精度。

例题：判断应采用哪种方法

使用同一台仪器先测未知电阻，再接入标准电阻并调到相同示值。这属于替代法。

若将天平左右两盘物体交换位置后再测一次，以削弱两臂不等造成的误差，属于交换法。

若两个温度传感器同时处于相同环境，最后只取两者输出之差，以消除环境温度共同影响，属于差动法。

4. 误差传递

若间接测量结果为：

$$y=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$

小误差条件下，系统误差的线性传递近似为：

$$\Delta y \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i$$

若各随机误差相互独立，合成标准不确定度常采用均方根形式：

$$u_y= \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}u_{x_i} \right)^2 }$$

例题：乘除关系的相对误差

若：

$$y=\frac{ab}{c}$$

取对数微分：

$$\frac{\Delta y}{y} \approx \frac{\Delta a}{a} +\frac{\Delta b}{b} -\frac{\Delta c}{c}$$

求最大可能相对误差时通常取绝对值相加：

$$\left|\frac{\Delta y}{y}\right|_{\max} \approx \left|\frac{\Delta a}{a}\right| +\left|\frac{\Delta b}{b}\right| +\left|\frac{\Delta c}{c}\right|$$

若计算独立随机误差的合成，则使用平方和开方：

$$\frac{u_y}{|y|} \approx \sqrt{ \left(\frac{u_a}{a}\right)^2+ \left(\frac{u_b}{b}\right)^2+ \left(\frac{u_c}{c}\right)^2 }$$

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八、最可能出现的前序课件题目

1. 简答题

可能问：

1. 静态特性与动态特性有什么区别？
2. 一阶传感器时间常数有什么物理意义？
3. 差动结构为什么能够提高灵敏度和改善线性？
4. 应变片为什么会产生温度误差？如何补偿？
5. 差动变压器如何判断位移大小和方向？
6. 霍尔元件为什么存在不等位电势？怎样补偿？
7. 二进制码盘为什么常改用格雷码？
8. 常用的系统误差削弱方法有哪些？

2. 识图题

可能给出：

• 一阶或二阶阶跃响应曲线；
• 差动电容结构；
• 差动变压器线圈结构；
• 霍尔元件调零电路；
• 二进制码盘或格雷码表。

要求说明图中参数、输出变化或结构作用。

3. 小计算题

高概率题型：

1. 根据 $\tau$ 和阶跃响应计算响应时间；
2. 应变、电阻变化和电桥输出；
3. 变间隙电容的 $\Delta C$ 和输出电压；
4. 同轴圆柱电容的液位灵敏度；
5. 气隙型电感、品质因数和等效电感；
6. 编码器脉冲频率与转速；
7. 二进制码与格雷码转换；
8. 有效数字和间接测量误差传递。

4. 综合题

最值得防的一条完整链路是：

被测位移、力、液位或温度
        ↓
敏感元件参数变化
R、C、L、热电势、霍尔电压
        ↓
测量电路转换
电桥、差动结构、放大电路
        ↓
输出电压或数字量
        ↓
误差分析与结果表达

老师如果要考“系统”，往往不会只问一个公式，而会让你说明从被测量到最终输出的整个转换过程。

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九、针对性复习顺序

第一轮，先背核心关系：

$$H(s)=\frac{K}{\tau s+1}$$ $$\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon$$ $$C=\varepsilon\frac{S}{d}$$ $$L=\frac{\mu_0N^2S}{\delta}$$ $$Q=\frac{2\pi fL}{R}$$ $$U_H=K_HIB$$ $$n=\frac{60f}{N}$$

第二轮，独立重做本文四道课件原题：

1. 应变片与单臂电桥；
2. 变间隙电容测微；
3. 电容式液位传感器；
4. 气隙型电感传感器。

第三轮，用一句话回答每类传感器：

测什么？
改变什么电参数？
用什么电路取出信号？
主要误差是什么？
怎样补偿？

第四轮，再复习最后两节课的误差、热电偶和超声波综合例题。

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十、考前自检

• 能解释一阶系统在 $t=\tau$ 时为什么达到 $63.2\%$。
• 能根据二阶响应曲线判断欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
• 能由应变求 $\Delta R/R$、$\Delta R$ 和电桥输出。
• 能说明应变片温度补偿片怎样接入电桥。
• 能区分变间隙、变面积和变介质电容传感器。
• 能计算平行板和同轴圆柱电容。
• 能计算气隙型传感器的电感与品质因数。
• 能说明差动变压器如何判断位移方向。
• 能说明霍尔不等位电势和补偿思路。
• 能计算编码器转速，并完成简单格雷码转换。
• 能正确保留有效数字。
• 能区分替代法、交换法、差动法和微差法。
• 能写出间接测量误差传递公式。