解方程，但是是微分方程

会把握分寸的

微分方程是一种很有意思的方程，其基本形式为$F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0$，也许叫做有导数的方程会更容易理解？

由于这种方程实在是太特别了，所以大多数是解不出来的，专家只会出五种能解出来的，如果解不出来那就是出错题了

一阶的

一阶意为一阶导

一阶可分离变量

一阶可分离变量微分方程长这样

$$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$$

将变量分离，然后积分即可

$$h(y)\, dy= g(x)\, dx \Rightarrow \int h(y)\, dy = \int g(x)\, dx$$

需要注意的是，移动会丢解，因为分母$≠0$，对于$0$的情况要专门讨论

比如

$$\frac{dy}{dx} = 2xy^2$$

得到

$$\frac{1}{y^2}dy = 2x\, dx \Rightarrow \int \frac{1}{y^2}dy = \int 2x\, dx$$

也就是

注意，在积分后必须要马上加上常数$C$，不要等下一步化简了再加

$$-\frac{1}{y}=x^2+C$$

如果有追求，可以化成更好看的样子

$$y=-\frac{1}{x^2+C}$$

所以千万不能晚加$C$啊

一阶齐次

一阶齐次微分方程的特点是未知数$x,y$次数相同，而常数与$y'$都看作$0$次，比如下面那两个

$$x^2y'=x(y+x),xy'=y+x$$

可以看见前者每一项的次数都是$2$，后者每一项次数都是$1$

这种方程可以直接化为一阶可分离变量微分方程，只要两边同时除以一个最高次项再换元就好了

第一个方程除以$x^2$变成

$$y'=\frac yx + 1，令u=\frac yx \Rightarrow y = ux$$

因此

$$y'=u'x+u$$

带回得到

$$u + 1 = u'x + u, 即\frac{du}{dx} = \frac 1x$$

然后照着上面可分离算就好

一阶线性

一阶线性微分方程的通式是$y'+P(x)y=Q(x)$，因为对于未知函数$y$而言是个一次方程

线性方程的解属于线性代数的内容，如果$Q(x) \equiv 0$，这就是个齐次线性方程，反之若$Q(x) \not \equiv 0$则这是个非齐次线性方程

这个方程的解实际上是前人猜出来的，所以背公式就好了

$y'+P(x)y=Q(x)$的通解即为$y'+P(x)y=0$的解

通解如下

$$y=e^{-\int P(x)\, dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)\, dx}\, dx + C] = \frac{\int Q(x)e^{\int P(x)\, dx}\, dx + C}{e^{\int P(x)\, dx}}$$

右边那个式子可能更好记一点

二阶的

对于能出题的二阶微分方程，不是二阶常系数线性就是可降阶的

二阶可降阶

具体来说有三种

Ⅰ

第一种也是纯猜

即$y^{(u)}=f(x)$这样的

有$y''=e^{2x}-\cos x$

就能猜出$y'=\frac 12e^{2x} - \sin x + C$

然后再猜$y=\frac 14e^{2x} + \cos x + Cx + D$就结束了

Ⅱ

第二种是二阶线性的，且不是常数可降阶

长这样$y''=f(x,y')$

只要$y''=p',y'=p$变成一阶可分就能算了

比如有$(1+x^2)y''=2xy'$，变成$(1+x^2)p'=2xp$

算出$p$之后记得一定要化为显函数，因为还要带回再算一次一阶的

如果式子里有$y$怎么办？不管它就好了，因为去不掉

Ⅲ

还有一种长这样$y''=f(y,y')$

对于这种，需要让$y'=p$，于是$\displaystyle y''=p'=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

然后呐，就是一模一样的一阶可分时间了

如果有

$yy''-{y'}^2=0$

按上面的步骤做得到

$$yp\frac{dp}{dy} -p^2=0 \Rightarrow y\frac{dp}{dy} =p$$

这不就是我们一阶可分离变量吗

二阶常系数齐次线性

二阶常系数齐次线性微分方程长这样

$y''+py'+qy=0$

$p,q$是两个常数来的，解这个方程的过程其实也是猜

只要解出$r^2+pr+q=0$的两个根$r_1,r_2$就好了，对于不同的$r_1,r_2$，有以下的解

$r_1,r_2$的形式	$r^2+pr+q=0$通解
两个不相等的实根	$y=Ce^{r_1x}+De^{r_2x}$
$r_1=r_2$	$y=(C+Dx)e^{r_1x}$
一对共轭复根$r_{1,2}=\alpha ± \beta i$	$y=e^{\alpha x}(C\cos \beta x + D\sin \beta x)$

欧拉公式：你好

背完这些公式，也应该够用了……吧，对于更高次的类似方程，也不过是这几种情况的延伸，就是把每对解拼起来