给变量加一层函数

离散型的个个都会，但是连续型的就不一样了，如果有 $X$ 和 $Y$ 两个量，然后 $Y=g(X)$，比如 $Y=X^2$，在知道 $X\sim f_X(x)$ 后专家问你 $f_Y(y)$ 怎么求，其实很简单

首先是要找 $y$ 的分段点，如果 $x$ 有分段点，那 $y$ 大概也有对应的分段点，带进去就好了。有的时候还得看 $g(x)$ 的极值，比如 $Y=X^2$ 的最小值是 $0$，于是 $y<0$ 就不可能了

之后代入到概率里面：

$$F_Y(y)=P\{ Y \leq y \} = P\{ X^2 \leq y \} = P\{ -\sqrt{y} \leq X \sqrt{y} \}=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f_X(x)dx$$

最后求导就能得到 $f_Y(y)$ 了

当然，几个区间都要分别讨论

如果这个 $g(x)$ 是个单调函数，可以令 $h(x)$ 为 $g(x)$ 的反函数，那就可以套公式了

$$f_Y(y)=\left\{ \begin{aligned} &f_X(h(y))|h'(y)|,&&\alpha < y < \beta \\ &0,&&其他 \end{aligned} \right.$$

$\alpha$ 和 $\beta$ 分别为 $g(x)$ 在定义域上的的最小与最大值

那二维的又要怎么求呢？比如有个

$$f(x,y)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}},&&0<x<1,y>0 \\ &0,&& 其他 \end{aligned} \right.$$

要求 $Z=X-Y$ 对应的 $f_Z(z)$

首先也是代入 $x,y$ 的分段点得到 $z$ 的分段点，很容易知道 $z$ 的两个分段点是 $0,1$

为了方便，可以把 $0<x<1,y>0$ 这个区域记为 $D$

之后就要分区间求 $F_Z(z)$ 了

我们发现

F_Z(z)=P\{ Z\leq z \}=P\{ X-Y \leq z \}=\iint_\limits{x-y\leq z}f(x,y)dxdy=\iint_\limits{(x-y\leq z)\cap D}\frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}dxdy 在 $z$ 不同时，我们需要注意积分区域的大小，不然容易算错

算出 $F_Z(z)$ 后，对几个部分分别求导就得到 $f_Z(z)$ 了

特别的是，如果 $X,Y$ 是相互独立的，那就有

$$f_Z(z)=f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$$

这叫卷积公式，虽然我不知道哪里卷了

如果对于独立的 $X,Y$，$M=\max\{X,Y\},N=\min\{X,Y\}$，有

$$\begin{aligned} F_M(z)&=F_X(z)F_Y(z)\\ F_N(z)&=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] \end{aligned}$$