微分……导数……在三维空间还在追我

多元函数与它的导数和微分

升维打击！

啥是多元函数

多元函数就是有超过一个自变量的函数，比如$f(x,y)$就是一个以$x$和$y$作为自变量的函数

和一元函数一样，多元函数也有极限、连续之类的概念

对于二元函数，对于某个点$(x_0,y_0)$处的极限记作

$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$$

当然也有别的写法，但我懒得写了，至于连续嘛，和一元函数是一样的

正着导不会，那就偏着导吧

学过解析几何的都知道，那多元函数的图像已经不能局限于二维平面了，所以如果要对某个点求导的话，方向不同那导数也会不一样

所以啊，我们在求导的时候还要规定求导的方向，比如是沿着$x$轴还是沿着$y$轴的，沿着坐标轴求导的导数就是偏导数，就是把除了这个轴对应的变量以外的变量都看作常量

比如有$z=f(x,y)$，那它的对$x$的偏导数就可以写成

$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},z_x ,f_x(x,y)$$

中的任意一种，对$y$求偏导也是一样的

在偏导的路上越走越远

一元函数有二阶三阶导，偏导数当然也可以

可以对$x$的偏导数再次求导，就变成了

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},z_{xx} ,f_{xx}(x,y)$$

专家还发现，在偏导数连续的情况下

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$$

就是说这个偏导，无论是先导$x$还是先导$y$结果都是一样的

还是无限细分的微分

偏导数只是个权宜之计，而以偏概全是不对的

很显然我们的二元函数不能只沿着两个坐标轴来求导，但是在求导前先来看看全微分吧、

首先如果我们在二元函数上有个点，我们可以在定义域内随意动它（当然在邻域里面比较好），设这个点是$(x,y)$，有增量$\Delta x,\Delta y$ ，那么令

$$\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y)$$

这个$\partial z$叫做函数在这点对应$\partial x,\partial y$的全增量，如果可以表示为这样的话

$$\Delta z = A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$$

其中$A$和$B$是只由坐标而不受增量决定的值，$o(\rho)$是个可以忽略的无穷小，那就说这个函数在这个点可微分，$A\partial x+B\partial y$就是函数在这点的全微分，就是说在这个点上往哪个方向都可以微分，也就是

$$dz=A\partial x+B\partial y$$

可是我为什么要在这里写定义

可$A$和$B$要怎么算呢，如果函数在某点可微的话，那这点的偏导也都存在，在这点有

$$\boxed{dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\Delta y}$$

很简单吧？还有，如果函数的偏导数在某点上都连续的话，那在这个点上也是可微的

事实上上面这个式子还可以拿来做近似计算

如果遇到了复合函数

如果有函数$u=\phi(t),v=\psi(t),z=f(u,v)$，那$z$对$t$的导数就是

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t}$$

真的是非常简单，事实上即使$u$和$v$都有两个自变量也不慌，把$t$换成对应的自变量就好了

比较棘手的隐函数

如果我们有个函数$F(x,y)$，让它等于$0$，然后求偏导就有

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y}$$

对更多元的隐函数也是一样的

但是还有方程组的情况……

这下任务就很艰巨了

对这样一个方程组：

$$\left\{ \begin{aligned} F(x,y,u,v) = 0\\ G(x,y,u,v) = 0 \end{aligned} \right.$$

它们可以组成一个有用的行列式，叫雅可比(Jacobi)式

$$J = \frac{\partial (F,G)}{\partial(u,v)} = \left | \begin {matrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end {matrix} \right |$$

然后举个例子就能举一反三了

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -J\frac{\partial(F,G)}{\partial (x,v)}$$

可以发现就是用$-J$乘上另一个导数，这个导数把$J$中被导的变量$u$换成了$x$，然后就没别的变化了

但是这个任务无论如何看起来是挺艰巨的（

论多元微分的集合应用

在这里

终于能往任何一个方向导了

方向导数

前面的偏导数只能在两个方向上导，还是太不够用了，那有没有能往任何一个方向导的导数呢？有的兄弟有的

方向导数就是某个函数在任意方向上的导数，这一句话当然是说不清楚的，看公式就懂了（大概

但是首先你得指定一个方向（就像偏导也要指定变量一样），不然谁知道是往哪里导呢，如果是在点$P_0(x,y)$上沿着$l$方向求导，那么对应的方向导数就是

$$\left. \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial l} \end{aligned} \right|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0)\cos \alpha + f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

$\cos \alpha$和$\cos \beta$是方向$l$的两个方向余弦，对三元函数而言也是一样的

梯度

话说有个向量叫做梯度，记作 $\mathbf{grad} f(x_0,y_0)$ 或 $\nabla f(x_0,y_0)$ ，两者都等价于

$$\mathbf{grad} f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i} + f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j}$$

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}$ 叫做二维的向量微分算子或者 Nabla 算子，那这梯度又有啥用呢

专家发现有

$$\left. \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial l} \end{aligned} \right|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0)\cos \alpha + f_y(x_0,y_0)\cos \beta = |\mathbf{grad} f(x_0,y_0)|\cos \theta$$

里面这个 $\theta$ 指的是 $\mathbf{grad} f(x_0,y_0)$ 和 $l$ 的夹角，所以梯度实际上是啥呢，就是告诉你在一个点上往哪个方向的导数是最大的， $\theta = 0$ 时的方向导数显然是最大的，同理也能得到导数最小与为零的方向

极大与极小值

和一元函数一样的是，多元函数也有极大极小值，不一样的是，多元函数因为可以往不止一个方向走，所以只求一阶导甚至二阶导都不足以判断极大极小值了

那要咋求呢

首先我们要先求函数的驻点，即$f_x(x_0,y_0) = 0,f_y(x_0,y_0) = 0$的点

然后求二阶导，让$f_{xx}(x_0,y_0) = A,f_{xy}(x_0,y_0) = B,f_{yy}(x_0,y_0) = C$

对于这三个$ABC$ ，可以用下面的方法判断一个点是不是极值点

当$AC-B^2>0$时，如果$A<0$就是极大值，$A>0$就是极小值

当$AC-B^2<0$时没有极值

当$AC-B^2=0$时，恭喜你还需要另作讨论！

其实这个值是黑塞（Hessian）矩阵的行列式，即

$$D= \left | \begin {matrix} A & B \\ B & C \end {matrix} \right |$$

然后……算了再深入就太难了，不管了大专考试什么水平谁不知道啊

拉格朗日乘数法

一般而言，在这种情况下会给你一个函数$z=f(x,y)$，再给一个限制条件$\phi (x,y) = 0$，构造一个拉格朗日函数

$$L(x,y) = f(x,y)+\lambda\phi(x,y)$$

$\lambda$ 是一个参数，然后对 $x,y,\lambda$ 求偏导，就有

$$\left\{ \begin{aligned} &f_x(x,y)+\lambda\phi_x(x,y)=0 \\ &f_y(x,y)+\lambda\phi_y(x,y)=0 \\ &\phi(x,y) = 0 \end{aligned} \right.$$

然后就可以解出一些可能的极值点了（三个方程三个未知数嘛）

还有吗？

二元函数的泰勒还是太超模了，打不过打不过