最后两节课例题精讲

本文重点整理：

• 2026 年 6 月 17 日课件中的热电偶、补偿方法和超声波例题；
• 2026 年 6 月 22 日综合复习课中的测量误差、数据处理、电桥和应变片例题。

所有题图均从相应 PPTX 的原始幻灯片图片中提取。

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一、绝对误差、相对误差和仪表准确度

1. 绝对误差

测量值为 $x$，真值或约定真值为 $A$：

$$\Delta x=x-A$$

绝对误差有单位和正负号。

例如真值为 $100V$，仪表指示 $101V$：

$$\Delta U=101-100=1V$$

2. 相对误差

$$\gamma= \frac{\Delta x}{A}\times100\%$$

相同的绝对误差，对小量值造成的相对影响更大。

例如：

$$U_1=100V,\quad U'_1=101V$$ $$\gamma_1=\frac{1}{100}\times100\%=1\%$$

而：

$$U_2=5V,\quad U'_2=6V$$ $$\gamma_2=\frac{1}{5}\times100\%=20\%$$

两次绝对误差都是 $1V$，但第二次测量质量明显更差。

3. 仪表准确度等级

允许最大绝对误差：

$$|\Delta x|_{\max} = \frac{s}{100}x_m$$

其中：

• $s$：准确度等级数字；
• $x_m$：满量程值。

原题图：

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例题 1：根据检定数据确定准确度等级

电流表量程为 $100mA$，各检定点绝对误差为：

$$0.1,-0.3,0.5,-1.2,2.0,1.0\;mA$$

最大绝对误差：

$$|\Delta I|_{\max}=2.0mA$$

最大引用误差：

$$\gamma_m= \frac{2.0}{100}\times100\% =2.0\%$$

计算值为 $2.0\%$。按常见标准准确度等级序列，应选择不小于该计算值的等级，因此该仪表应标为：

$$\boxed{2.5\text{ 级}}$$

如果考试题给出了本课程采用的等级序列，应以题目给出的序列为准。

易错点

不能用某个中间刻度的读数作分母，准确度等级以满量程为分母。

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例题 2：判断仪表是否合格

检定一只 1.5 级、量程 $100mA$ 的电流表，测得最大绝对误差为 $1.4mA$。

允许最大绝对误差：

$$|\Delta I|_{\text{允许}} = \frac{1.5}{100}\times100mA =1.5mA$$

因为：

$$1.4mA<1.5mA$$

所以该电流表合格。

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例题 3：仪表应该怎样选

待测电流约为 $100mA$，有两只表：

1. 0.5 级，量程 $0\sim400mA$；
2. 1.5 级，量程 $0\sim100mA$。

第一只表：

$$|\Delta I_1|_{\max} =0.5\%\times400mA =2mA$$

在 $100mA$ 附近的相对误差约为：

$$\gamma_1=\frac{2}{100}\times100\%=2\%$$

第二只表：

$$|\Delta I_2|_{\max} =1.5\%\times100mA =1.5mA$$

相对误差约为：

$$\gamma_2=\frac{1.5}{100}\times100\%=1.5\%$$

所以应选择第二只 1.5 级、100mA 量程的电流表。

结论

仪表等级不能脱离量程比较。
测量值应尽量接近满量程，但不能超过量程。

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二、等精度重复测量

原题给出 10 次电压测量：

$$30.47,\ 30.49,\ 30.51,\ 30.60,\ 30.50,$$ $$30.48,\ 30.49,\ 30.43,\ 30.52,\ 30.45\quad (V)$$

要求写出完整测量结果。

原题和课件解答：

第一步：平均值

$$\bar U= \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}U_i =30.494V$$

按课件保留为：

$$\bar U\approx30.49V$$

第二步：残差

$$v_i=U_i-\bar U$$

以 $10^{-3}V$ 为单位，残差为：

$$-24,-4,16,106,6,-14,-4,-64,26,-44$$

检查：

$$\sum_{i=1}^{10}v_i=0$$

说明平均值和残差计算相互吻合。

第三步：标准差

$$s= \sqrt{ \frac{1}{10-1} \sum_{i=1}^{10}v_i^2 }$$

计算得到：

$$s=0.0460V$$

第四步：判断异常值

课件使用莱特准则：

$$3s=3\times0.0460=0.138V$$

最大残差绝对值：

$$|v_{\max}|=0.106V$$

因为：

$$0.106<0.138$$

所以没有数据满足 $|v_i|>3s$，不能删除 $30.60V$。

这道题很容易凭感觉把 $30.60V$ 当异常值删除，这是错误的。

第五步：测量结果

题目没有给定置信概率，课件按最大误差限取 $k=3$：

$$U=\bar U\pm3s$$

因此：

$$\boxed{U=(30.49\pm0.14)V}$$

固定答题模板

平均值 -> 残差 -> 检查残差和 -> 标准差
-> 粗大误差判断 -> 最终结果表达

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三、置信区间

原题图：

例题 1：总体标准差已知

已知：

$$\bar x=100,\quad \sigma=15,\quad n=36$$

求总体均值 $\mu$ 的 99% 置信区间。

总体标准差已知，使用正态分布：

$$\mu\in \left[ \bar x-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}, \bar x+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \right]$$

99% 置信度：

$$z_{\alpha/2}=2.576$$

误差限：

$$\Delta= 2.576\times\frac{15}{\sqrt{36}} =2.576\times2.5 =6.44$$

所以：

$$\boxed{ \mu\in[93.56,\ 106.44] }$$

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例题 2：总体标准差未知的小样本

测量数据：

$$10.1,\ 10.3,\ 9.9,\ 10.2$$

求均值的 95% 置信区间。

样本量：

$$n=4$$

总体标准差未知，且为小样本，使用 $t$ 分布。

第一步：平均值

$$\bar x= \frac{10.1+10.3+9.9+10.2}{4} =10.125$$

第二步：样本标准差

$$s= \sqrt{ \frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1} } \approx0.1708$$

第三步：查表

自由度：

$$\nu=n-1=3$$

95% 双侧置信区间：

$$t_{0.025,3}\approx3.182$$

第四步：误差限

$$\Delta= t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n}$$ $$\Delta= 3.182\times\frac{0.1708}{2} \approx0.272$$

所以：

$$\boxed{ \mu\in[9.853,\ 10.397] }$$

易错点

1. 总体标准差未知，不能把样本标准差直接代入正态分布公式。
2. 自由度是 $n-1=3$，不是 $n=4$。
3. 双侧 95% 区间查的是 $t_{\alpha/2}$。

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四、直流电桥综合题

原题条件：

$$U_i=10V$$ $$R_1=R_2=R_3=R_4=150\Omega$$

原题图：

按题图，输入电压加在 $A$、$C$ 两端，输出为 $B$、$D$ 两点的电位差。

输出公式：

$$U_o= \left( \frac{R_1}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4} \right)U_i$$

第 1 问：只有 $R_1$ 增大

$$R_1'=151.5\Omega$$

代入：

$$U_o= \left( \frac{151.5}{151.5+150} - \frac{150}{150+150} \right)\times10$$ $$U_o\approx0.02488V$$

所以：

$$\boxed{U_o\approx24.9mV}$$

使用单臂电桥近似式也可快速计算：

$$U_o\approx \frac{U_i}{4}\frac{\Delta R}{R}$$ $$U_o\approx \frac{10}{4}\times\frac{1.5}{150} =0.025V$$

近似结果为 $25mV$。

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第 2 问：$R_1$、$R_2$ 同向同量变化

$$R_1'=R_2'=151.5\Omega$$

上支路分压比例仍为：

$$\frac{R_1'}{R_1'+R_2'}=\frac12$$

下支路也是 $\frac12$，因此：

$$\boxed{U_o=0}$$

这说明相邻桥臂同方向、同大小变化时会互相抵消。

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第 3 问：$R_1$、$R_2$ 反向变化

取：

$$R_1'=151.5\Omega,\quad R_2'=148.5\Omega$$

则：

$$U_o= \left( \frac{151.5}{151.5+148.5} - \frac{150}{300} \right)\times10$$ $$U_o=(0.505-0.5)\times10=0.05V$$

所以：

$$\boxed{U_o=50mV}$$

双臂反向变化时，输出约为单臂的 2 倍。

电桥题总口诀

同臂同向可能抵消；
合理安排一增一减，灵敏度相加；
先按题图确定输出正负，再代公式。

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五、热电偶冷端补偿

1. 中间温度定律

$$E(t,t_0) = E(t,0)-E(t_0,0)$$

因此：

$$E(t,0) = E(t,t_0)+E(t_0,0)$$

原题和答案图：

例题

K 型热电偶测量热处理炉温度，冷端：

$$t_0=30^\circ C$$

实测热电势：

$$E(t,30)=39.17mV$$

查 K 型热电偶分度表：

$$E(30,0)=1.20mV$$

修正到冷端 $0^\circ C$：

$$E(t,0) =39.17+1.20 =40.37mV$$

再查 K 型分度表：

$$\boxed{t\approx977^\circ C}$$

为什么不能直接用 $39.17mV$ 查表

热电偶分度表默认：

$$t_0=0^\circ C$$

如果直接查 $39.17mV$，得到的约为 $938^\circ C$ 左右，而不是实际炉温。误差来自忽略了冷端的热电势。

固定步骤

冷端不为 0℃
-> 查 E(t0,0)
-> 与实测 E(t,t0) 相加
-> 得到 E(t,0)
-> 再查分度表

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六、热电偶补正系数法

补正系数法近似写为：

$$T=T'+kT_H$$

其中：

• $T$：实际被测温度；
• $T'$：实测热电势直接查表所得温度；
• $T_H$：冷端温度；
• $k$：补正系数。

原题图：

例题

铂铑 10-铂热电偶测温，已知：

$$T_H=35^\circ C$$

实测热电势：

$$E=11.351mV$$

查 S 型分度表，得到：

$$T'=1150^\circ C$$

已知该温度附近补正系数：

$$k=0.53$$

则：

$$T=1150+0.53\times35$$ $$T=1168.55^\circ C$$

按课件写为：

$$\boxed{T\approx1168.3^\circ C}$$

由于补正系数法属于近似方法，结果可能因 $k$ 的取值和中间舍入略有差异。

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七、电阻应变片计算

基本公式：

$$K= \frac{\Delta R/R}{\varepsilon}$$

所以：

$$\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon$$ $$\Delta R=KR\varepsilon$$

原题图：

例题 1：已知应变求电阻变化

已知：

$$R=350\Omega,\quad K=2.05$$ $$\varepsilon=800\mu\varepsilon =800\times10^{-6}$$

相对电阻变化：

$$\frac{\Delta R}{R} =K\varepsilon$$ $$\frac{\Delta R}{R} =2.05\times800\times10^{-6} =0.00164$$

电阻变化量：

$$\Delta R=0.00164\times350$$ $$\boxed{\Delta R=0.574\Omega}$$

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例题 2：受力支柱上的应变片

已知：

$$R=350\Omega,\quad K=2.1$$

铝支柱：

$$D=50mm,\quad d=47.5mm$$ $$E=73GPa$$

承受质量 $1000kg$，取：

$$F=mg\approx9800N$$

第一步：环形截面积

$$S=\frac{\pi(D^2-d^2)}{4}$$ $$S\approx191mm^2 =191\times10^{-6}m^2$$

第二步：应变

$$\varepsilon= \frac{F}{SE}$$

第三步：电阻变化

$$\Delta R= KR\frac{F}{SE}$$

代入：

$$\Delta R= 2.1\times350 \times \frac{9800} {191\times10^{-6}\times73\times10^9}$$

得到：

$$\boxed{\Delta R\approx0.52\Omega}$$

易错点

课件中面积的中间展开写法不够直观，考试建议直接使用：

$$S=\frac{\pi}{4}(D^2-d^2)$$

这样不容易把直径差和平方差混淆。

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例题 3：反求灵敏系数

已知：

$$R=100\Omega,\quad \Delta R=1\Omega$$ $$S=0.5\times10^{-4}m^2$$ $$E=2\times10^{11}Pa$$ $$F=5\times10^4N$$

相对电阻变化：

$$\frac{\Delta R}{R} =\frac{1}{100} =0.01$$

应变：

$$\varepsilon= \frac{F}{SE}$$ $$\varepsilon= \frac{5\times10^4} {0.5\times10^{-4}\times2\times10^{11}} =0.005$$

灵敏系数：

$$K= \frac{\Delta R/R}{\varepsilon}$$ $$K= \frac{0.01}{0.005}$$ $$\boxed{K=2}$$

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八、超声波流量测量

原理图和公式：

设：

• 超声波在静止介质中的速度为 $c$；
• 流体平均速度为 $v$；
• 声程为 $L$；
• 声束与流向夹角为 $\theta$。

顺流传播时间：

$$t_1= \frac{L}{c+v\cos\theta}$$

逆流传播时间：

$$t_2= \frac{L}{c-v\cos\theta}$$

两者时间差：

$$\Delta t=t_2-t_1$$

精确展开：

$$\Delta t= \frac{2Lv\cos\theta} {c^2-v^2\cos^2\theta}$$

由于一般有：

$$v\ll c$$

可忽略 $v^2\cos^2\theta$：

$$\Delta t\approx \frac{2Lv\cos\theta}{c^2}$$

所以：

$$\boxed{ v\approx \frac{c^2\Delta t}{2L\cos\theta} }$$

体积流量：

$$\boxed{Q=vS}$$

常见变形

若题目直接给顺流和逆流时间，也可以由：

$$\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2} = \frac{2v\cos\theta}{L}$$

求流速：

$$v= \frac{L}{2\cos\theta} \left( \frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2} \right)$$

易错点

1. $\theta$ 是声束与流向的夹角，不一定是与管壁或法线的夹角。
2. 顺流时间小，逆流时间大。
3. 流量还需要乘管道有效截面积。
4. 只有满足 $v\ll c$ 时才能使用近似式。

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九、考前必须能独立完成的步骤

误差与仪表

绝对误差 -> 相对误差 -> 引用误差
-> 最大允许误差 -> 等级或仪表选型

重复测量

平均值 -> 残差 -> 标准差
-> 粗大误差 -> 测量结果

置信区间

判断 σ 是否已知
-> 判断样本大小
-> 选 z 或 t
-> 计算误差限

应变片

受力 -> 应力 -> 应变
-> 相对电阻变化 -> 电阻变化
-> 电桥输出

热电偶

确认冷端温度
-> 补偿为冷端 0℃
-> 查分度表

超声波

判断单程或往返
-> 写传播时间
-> 求距离或速度
-> 必要时再求流量