数理统计

基本的概念

专家把研究对象某项数量指标的全体叫做总体，记作 $X$，比如全校所有学生身高的全体，而总体中每个基本单位叫做个体，比如每个学生的身高

总体是有有限和无限之分的

从总体里面抽取的部分个体叫做样本，记作 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，如果这些样本之间互相独立且与总体同分布，那它们就是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$n$ 叫做样本容量，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 叫做样本观测值，简称样本值

专家定义，对于任意实数 $x$，$F_n(x)=\frac{样本值中小于等于x的个数}{n}$ 叫做总体 $X$ 的经验分布函数（或者样本分布函数）

$n$ 充分大时，$F_n(x)\approx F(x)$

对于一个样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，样本函数 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 里面如果不含有任何参数，那 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 就是一个统计量

如果设 $E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$

那有 $E(\overline{X})=\mu,D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}$

样本均值 $\displaystyle\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ 、样本方差（修正过的） $\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2, s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$ 、标准差 $S,s$、$k$ 阶原点矩 $\displaystyle A_k=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_i^k,a_k=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_i^k$、$k$ 阶中心矩 $\displaystyle B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k, b_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^k$ 都是常见的统计量

抽样分布

专家把 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的分布叫做抽样分布

$\chi^2$ 分布

$\chi^2$ 分布，也就是卡方分布就是很典的抽样分布，如果 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$，那就说 $X=X^2_1,X^2_2,\cdots,X^2_n$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记作 $X\sim \chi^2(n)$

比如如果 $X_1\sim N(0,1),X_2\sim N(0,1)$，那 $X_1^2+X_2^2\sim \chi^2(2)$

对于 $X\sim \chi^2(n)$，它的密度函数是好长一串，所以不背了

如果 $X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2)$ 还独立，那 $X+Y\sim \chi^2(n_1+n_2)$，这叫它的可加性

如果 $X\sim \chi^2(n)$，那 $E(X)=n,D(X)=2n$

$t$ 分布

如果 $X_1\sim N(0,1),X_2\sim \chi^2(n)$ 还独立，那 $X=\frac{X_1}{\sqrt{\frac{X_2}{n}}}$ 就服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作 $X\sim t(n)$

它的图像有点像正态分布，$E(X)=0,D(X)=\frac{n}{n-2}$，当 $n\to \infty$ 时，$t(n)=N(0,1)$

$F$ 分布

如果 $X_1\sim \chi^2(n_1),X_2\sim \chi^2(n_2)$ 还独立，那 $\displaystyle\frac{\frac{X_1}{n_1}}{\frac{X_2}{n_2}}$ 服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记作 $F(n_1,n_2)$

显然如果 $X\sim F(n_1,n_2)$，那 $\frac{1}{X}\sim F(n_2,n_1)$

$F$ 分布的图像类似 $\chi^2$ 分布

正态

对于 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其实还有 $\displaystyle \overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ 和 $\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立这三个性质