我也想成为曲线和曲面积分大佬

那一天的线面，弯曲起来

曲线积分

很多时候，曲线上的每一小段质量是可以不一样的（线密度），而算整个曲线的质量就要用到曲线积分

出于某些非常数学的原因，曲线积分被分成了对坐标的和对面积的两类

对弧长的

如果有个曲线的参数方程长这样

$$\left\{ \begin{align} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{align} \right. ~~~ (\alpha \leq t \leq \beta)$$

在这条线上有 $f(x,y)$ ，那这条线上对应的对弧长的曲线积分写成下面这样

$$\int_L f(x,y)ds = \int_{\alpha}^{\beta} f[\phi(t),\psi(t)]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt ~~~ (\alpha < \beta)$$

没有证明，因为我也不会证

如果曲线是闭合的， 就要在积分号上加个⚪：

$$\oint_L f(x,y)ds$$

对弧长的曲线积分就是长这样的，由于另一种曲线积分的形式十分明显，很容易分清二者

对坐标的

还是有个曲线的参数方程长这样

$$\left\{ \begin{aligned} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{aligned} \right. ~~~ (\alpha \leq t \leq \beta)$$

在这条线上有 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ ，又有两个点 $A$ 和 $B$ ，那这段的积分就是

$$\begin{align} &\int_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy \\ =&\int_{\alpha}^{\beta} \{ P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t) + Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t) \} dt \end{align}$$

你学废了吗，套公式就完了

这类曲线积分题目都会给出两个点的坐标的，所以特别容易分清楚

格林公式

如果一个区域 $D$ 被光滑的曲线 $L$ 围起来，又有 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ ，那么就有

$$\iint\limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \oint_L Pdx+Qdy$$

$L$ 是 $D$ 边界的正向曲线，就是往这个方向走，被包围的区域都在左手边

需要注意的是，如果这个区域包含了未定义点，那就需要在这个未定义点周围再套一个小圈，然后对两条线之间的区域应用格林公式

路径无关

路径无关就是说一个点到另一个点无论是怎么个走法，结果都是一样的，此事在物理的势能中亦有记载

对于 $\int_L Pdx+Qdy$ ，只要满足 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，那这个曲线积分就是路径无关的

曲面积分

曲面积分和曲线积分是差不多的，就是多了个维度

对面积的

如果有个光滑曲面 $\Sigma$ 由 $z=z(x,y)$ 决定，那么曲面积分就是

$$\boxed{ \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)} dxdy}$$

只有出现 $dS$ 这样的曲面积分才是对对面积的曲面积分， $D_{xy}$ 是曲面在 $xOy$ 上的投影

对坐标的

对于一个曲面 $\Sigma$ ，它的对坐标的曲面积分是分方向的，通常题目都会给，方向不同会导致积分结果相反（一般都是外侧）

比如说有个

$$\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z) dxdy$$

那有

$$\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z) dxdy = \pm\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) dxdy$$

同理亦有

$$\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z) dxdz = \pm\iint\limits_{D_{xz}} R(x,y(x,z),z) dxdz$$ $$\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z) dydz = \pm\iint\limits_{D_{yz}} R(x(y,z),y,z) dydz$$

所以怎么变其实是看积分变量，很多时候还要把曲面切成几部分来算

高斯公式

像格林公式一样，曲面积分也有相似的高斯公式（等式右边其实是两条撬棍，但是这里打不出来）

$$\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV = \oint\limits_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

或者是

$$\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV = \oint\limits_{\Sigma}(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos \gamma)dS$$

$\Sigma$ 是 $\Omega$ 整个边界的曲面的外侧， $\cos \alpha$， $\cos \beta$ 和 $\cos \gamma$ 是 $\Sigma$ 在 $(x,y,z)$ 那里的法向量的方向余弦

这两个式子都是高斯公式

曲面积分也有类似于路径无关的东西，但是并不考（

斯托克斯公式

$\Gamma$ 是条分段光滑的空间有向闭曲线， $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面，然后这两玩意又符合右手规则（就是那个右手螺旋定则，拇指指着 $\Sigma$ 的法向量，而四指指向 $\Gamma$ 的方向），那就有

$$\iint\limits_{\Sigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_{\Gamma} Pdx+Qdy+Rdz$$

这一坨就是斯托克斯公式，将 $xyz$ 排列组合之后对另一个变量求偏导

记不住怎么办呢，事实上等式左边相当于

$$\left | \begin {matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end {matrix} \right | = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\boldsymbol{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\boldsymbol{k}$$

然后再换成 $\displaystyle(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$ 就好了