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无穷的级数

无穷级数

Section titled “无穷级数”

我觉得这玩意也可以叫做项数无限的数列吧

如果一个级数 ∑i=1∞ui\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} u_i 的部分和数列 {sn}\{ s_n \} 有极限，就是

lim⁡n→∞sn=s\lim_{n \to \infty} s_n = s

那 ∑i=1∞ui\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} u_i 就是收敛的，反之则发散

正项级数

Section titled “正项级数”

插播一条：对 ∑n=1∞1np\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} ，如果 p>1p>1 则收敛， p≤1p \leq 1 则发散

每一项都是正数的级数就是正项级数

显然对于 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 和 ∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n 两个正项级数，如果 un≤vnu_n\leq v_n 恒成立，且 ∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n 收敛，那 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 也收敛；而如果 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散，那 ∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n 也发散（这叫比较审敛法）

比较审敛法还有极限形式，如果 lim⁡n→∞unvn=l(0≤l≤+∞)\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0 \leq l \leq +\infty) 且 ∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n 收敛，那 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 也收敛（就是说 unu_n 是 vnv_n 的 ll 倍），反之如果 lim⁡n→∞unvn=l>0\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l>0 且 ∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n 发散，那 ∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n 也发散

如果对正项级数 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 有

lim⁡n→∞un+1un=ρ\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho

ρ<1\rho<1 那级数收敛， ρ>1\rho>1 那级数发散， ρ=1\rho=1 那就不能用这个方法（比值审敛法）

如果

lim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho

ρ<1\rho<1 那级数收敛， ρ>1\rho>1 那级数发散， ρ=1\rho=1 那就不能用这个方法（根值审敛法）

如果对正项级数 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 有

lim⁡n→∞nun=l>0\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0

那它就发散，另外如果 p>1p>1 又有

lim⁡n→∞npun=l (0≤l<+∞)\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l~(0\leq l <+\infty)

那它就收敛

交错级数

Section titled “交错级数”

交错级数就是一个正一个负的级数

对于交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}u_n ，如果同时满足 un≥un+1u_n \geq u_{n+1} 和 lim⁡n→∞un=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0 ，那它就是收敛的，还有和 s<u1s<u_1 啥的显然易得结论

这个结论叫做莱布尼兹定理

对于任意级数 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n ，如果 ∑n=1∞∣un∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 收敛，那这个级数绝对收敛，如果 ∑n=1∞∣un∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| 发散但 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛，那这个级数条件收敛

幂级数

Section titled “幂级数”

像 ∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots 这样的级数就是幂级数

显然如果 ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n 在 x=x0(x≠0)x=x_0(x\neq0) 的时候收敛，那这个级数对所有 ∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0| 的 xx 都是绝对收敛的；反之如果在 x=x0x=x_0 的时候发散，那这个级数对所有 ∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0| 的 xx 都是发散的

通过这点，专家推断出幂级数 ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n 存在一个范围 RR ，所有绝对值小于 RR 的 xx 都会使其绝对收敛，绝对值大于 RR 的 xx 都会使其发散，而 x=Rx=R 或 x=−Rx=-R 时收敛和发散就不好说了

专家管 RR 叫这个级数的收敛半径， (−R,R)(-R,R) 叫它的收敛区间

那这个收敛半径要怎么算呢？非常简单

还是对 ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n 这个级数，如果

lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho

如果 ρ≠0\rho\neq0 或 ρ≠∞\rho\neq\infty ，那 R=1ρ\displaystyle R=\frac{1}{\rho} ，否则 R=+∞(ρ=0)R=+\infty(\rho=0) 或 R=0(ρ=+∞)R=0(\rho=+\infty)

你也可以用

lim⁡n→∞∣an+1xn+1anxn∣<1\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right|<1

这个式子来求收敛半径（如果熟练了的话

有关幂级数的和函数

Section titled “有关幂级数的和函数”

专家把 ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n 的和函数记作 s(x)s(x) ，它有许多性质

  • s(x)s(x) 在 ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n 的收敛域 II 上亦收敛
  • s(x)s(x) 在 II 上可导也可积

积分和求导都要逐项来求

这是积分：

∫0xs(t)dt=∫0x[∑n=0∞antn]dt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n]dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^ndt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}

这是求导：

s′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=0∞(anxn)′=∑n=0∞nanxn−1s'(x)=(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)'=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}

这样积分和求导得到的新的幂函数的收敛半径不变

很多时候题目都会要求某个幂级数的和函数，这时除了要用上面的两种计算外，还要动用一些之前已经知道的展开，这些展开在下面一节也要大量使用

把函数展开成幂级数

Section titled “把函数展开成幂级数”

原理懒得看了，反正也看不懂，只需要记住那些已知的展开，就能凑出来别的了

但还是再写一遍吧，还是有些补充的

ex=∑n=0∞1n!xn (−∞<x<+∞)sin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1 (−∞<x<+∞)11+x=∑n=0∞(−1)nxn (−1<x<1)11−x=∑n=0∞xn (−1<x<1)ln⁡(1+x)=∑n=0∞(−1)nn+1xn+1=∑n=1∞(−1)n−1nxn (−1<x<1)cos⁡x=∑n=0(−1)n(2n)!x2n (−1<x<1)ax=exln⁡a=∑n=0∞(ln⁡a)nn!xn (−∞<x<+∞)11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n (−1<x<1)arctan⁡x=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1 (−1≤x≤1)\begin{align} &e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n ~(-\infty<x<+\infty) \\ &\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} ~(-\infty<x<+\infty) \\ &\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n ~(-1<x<1) \\ &\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n ~(-1<x<1) \\ &\ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n} ~(-1<x<1) \\ &\cos x = \sum_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} ~(-1<x<1) \\ &a^x=e^{x\ln a}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!}x^n ~(-\infty<x<+\infty) \\ &\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} ~(-1<x<1) \\ &\arctan x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} ~(-1\leq x \leq 1) \end{align}

专家说反正只要记住前六个那别的都基本可以推出来了，算别的那都是凑

比如说专家要让你把 f(x)=1x2+4x+3\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3} 展开成 (x−1)(x-1) 的幂级数，那首先就要

f(x)=1x2+4x+3=1(x+1)(x+3)=12(x+1)−12(x+3)=14(1+x−12)−18(1+x−14)=14∑n=0∞(−1)n(x−12)n−18∑n=0∞(−1)n(x−14)n=∑n=0∞(−1)n(12n+2−12n+3)(x−1)n (−1<x<3)\begin{align} f(x)&=\frac{1}{x^2+4x+3} = \frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)} \\ &=\frac{1}{4(1+\frac{x-1}{2})}-\frac{1}{8(1+\frac{x-1}{4})} \\ &=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{x-1}{2})^n - \frac{1}{8}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(\frac{x-1}{4})^n \\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{n+3}})(x-1)^n ~(-1<x<3) \end{align}

最后得出的范围是两个展开的范围的交集

用到别的展开式那也是差不多的

这个展开还能拿来算某些东西的近似值，不过很难算就是了

傅里叶级数

Section titled “傅里叶级数”

傅里叶级数就是把函数展开成三角函数组成的级数

大概是这样：

a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n \sin nx)

然后这两个 aa 和 bb 的计算方法是

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx (n=0,1,2,3,⋯ ),bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx (n=1,2,3,⋯ )\begin{align} &a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx ~(n=0,1,2,3,\cdots), \\ &b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx ~(n=1,2,3,\cdots) \end{align}

展开直接套公式喵，上面的系数叫做傅里叶系数，那个式子就是一个周期为 2π2\pi 的函数的傅里叶级数本尊

如果这个函数 f(x)f(x) 在一个周期只有有限个第一类间断点和有限个极值点，那么在它的连续点上，级数收敛于 f(x)f(x) ，在间断点上，级数收敛于两端极限的平均值，即 12[f(x−)+f(x+)]\frac12 [f(x^-)+f(x^+)]

如果 f(x)f(x) 是奇函数或偶函数的话，得到的傅里叶级数也是不一样的

如果 f(x)f(x) 是奇函数，那么 f(x)cos⁡nxf(x)\cos nx 是奇函数， f(x)sin⁡nxf(x)\sin nx 是偶函数，于是上面的式子就能变成

an=0,bn=2π∫0πf(x)sin⁡nxdx (n=1,2,3,⋯ )\begin{align} &a_n=0, \\ &b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx ~(n=1,2,3,\cdots) \end{align}

对应的傅里叶级数叫做正弦级数，长这样

∑n=1∞bnsin⁡nx\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx

如果 f(x)f(x) 是偶函数，那也有 f(x)cos⁡nxf(x)\cos nx 是偶函数， f(x)sin⁡nxf(x)\sin nx 是奇函数，得到

an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdx (n=0,1,2,3,⋯ ),bn=0\begin{align} &a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx dx ~(n=0,1,2,3,\cdots), \\ &b_n = 0 \end{align}

得到的傅里叶级数就是余弦级数

a02+∑n=1∞ancos⁡nx\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx

如果 f(x)f(x) 的周期不是 2π2\pi 的话，