闭卷专题一：关系代数

关系代数是闭卷考核内容之一，对应教材第2章的“关系代数”部分。教材指出：关系代数是一种抽象的查询语言，它以关系作为运算对象，以关系作为运算结果，通过运算表达查询需求。

这部分最常见的题型不是背概念，而是：

给出若干关系模式和一个查询要求，要求写出关系代数表达式。

所以复习重点是：认识运算符、确定操作顺序、能把中文查询翻译成表达式。

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1. 预备知识：关系、元组与属性

可以把关系理解为一张二维表：

数据库术语	表格中的直观含义	示例
关系	一张表	$\mathrm{Student}$
元组	一行记录	某个学生的一行信息
属性	一列	$\mathrm{Sno}$、$\mathrm{Sname}$
域	列的取值范围	学号字符串、成绩数值
候选码	能唯一标识元组的最小属性组	$\mathrm{Sno}$

后面的例题统一使用教材中常见的学生选课关系：

$$\begin{aligned} \mathrm{Student}(\mathrm{Sno},\ \mathrm{Sname},\ \mathrm{Ssex},\ \mathrm{Smajor}) \\ \mathrm{Course}(\mathrm{Cno},\ \mathrm{Cname},\ \mathrm{Credit}) \\ \mathrm{SC}(\mathrm{Sno},\ \mathrm{Cno},\ \mathrm{Grade}) \end{aligned}$$

其中，$\mathrm{Student}$ 表示学生，$\mathrm{Course}$ 表示课程，$\mathrm{SC}$ 表示选课联系：一个学生可以选多门课，一门课可以被多名学生选择。

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2. 关系代数运算符总表

运算	表达式	用途	直观理解
并	$R \cup S$	合并属于 $R$ 或 $S$ 的元组	两张同结构表合并去重
差	$R - S$	取属于 $R$ 但不属于 $S$ 的元组	在 $R$ 中排除 $S$
交	$R \cap S$	取同时属于 $R$ 和 $S$ 的元组	两表共同部分
笛卡尔积	$R \times S$	任意组合两关系中的元组	每行和另一表每行配对
选择	$\sigma_F(R)$	按条件 $F$ 筛选行	SQL 中的 WHERE
投影	$\pi_{A_1,A_2,\ldots,A_n}(R)$	选取指定属性并去重	SQL 中的列选择
条件连接	$R \bowtie_F S$	按条件 $F$ 组合元组	SQL 中的 JOIN ... ON
自然连接	$R \bowtie S$	按同名属性相等连接并去重列	常用于有关联属性的表
除	$R \div S$	表达满足 $S$ 中全部取值	查询选修了全部课程的学生

必须特别注意：

并、差、交要求参与运算的关系具有相同或相容的属性结构。选择作用于行，投影作用于列。连接不是简单地任意组合两表数据，而是在组合结果上保留符合关联条件的元组。

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3. 选择运算 $\sigma$

3.1 含义

选择是从关系中挑出满足条件的元组，也就是筛选行。形式为：

$$\sigma_F(R)$$

其中，$R$ 为被操作的关系，$F$ 为选择条件。

3.2 示例

查询计算机科学与技术专业的学生：

$$\sigma_{\mathrm{Smajor} = \text{'计算机科学与技术'}}(\mathrm{Student})$$

查询成绩不低于 $90$ 分的选课记录：

$$\sigma_{\mathrm{Grade} \ge 90}(\mathrm{SC})$$

查询计算机科学与技术专业的女生：

$$\sigma_{\mathrm{Smajor} = \text{'计算机科学与技术'} \land \mathrm{Ssex} = \text{'女'}} (\mathrm{Student})$$

3.3 易错点

下面写法是错误的，因为它把筛选条件写在了投影运算中：

$$\pi_{\mathrm{Smajor}=\text{'计算机科学与技术'}}(\mathrm{Student})$$

应记住：$\sigma$ 后写筛选条件，$\pi$ 后写要保留的属性列。

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4. 投影运算 $\pi$

4.1 含义

投影从关系中选择需要显示的属性列。形式为：

$$\pi_{A_1,A_2,\ldots,A_n}(R)$$

4.2 示例

查询所有学生的学号和姓名：

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Sname}}(\mathrm{Student})$$

查询所有被选择过的课程号：

$$\pi_{\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC})$$

因为关系不允许重复元组，如果很多学生选了同一门课，投影后的课程号结果中相同课程只保留一次。

4.3 选择与投影组合

查询计算机科学与技术专业学生的学号和姓名：

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Sname}} \left( \sigma_{\mathrm{Smajor}=\text{'计算机科学与技术'}} (\mathrm{Student}) \right)$$

运算顺序为：先通过 $\sigma$ 筛出符合专业条件的学生，再通过 $\pi$ 仅显示学号与姓名。

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5. 集合运算：并、差、交

5.1 运算前提

集合运算的两个关系必须相容，通常要求属性个数相同，并且对应属性来自相同或可比较的域。

例如，可以把两个只包含属性 $\mathrm{Sno}$ 的查询结果进行集合运算，但不能直接将 $\mathrm{Student}$ 与 $\mathrm{Course}$ 做并运算。

5.2 并运算 $\cup$

查询选修课程 $\mathrm{C01}$ 或 $\mathrm{C02}$ 的学生学号：

$$\pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC})\right) \ \cup\ \pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C02'}}(\mathrm{SC})\right)$$

5.3 交运算 $\cap$

查询同时选修课程 $\mathrm{C01}$ 和 $\mathrm{C02}$ 的学生学号：

$$\pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC})\right) \ \cap\ \pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C02'}}(\mathrm{SC})\right)$$

5.4 差运算 $-$

查询选修了 $\mathrm{C01}$ 但没有选修 $\mathrm{C02}$ 的学生学号：

$$\pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC})\right) - \pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C02'}}(\mathrm{SC})\right)$$

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6. 笛卡尔积与连接

6.1 笛卡尔积 $\times$

如果关系 $\mathrm{Student}$ 有 $5$ 行，关系 $\mathrm{SC}$ 有 $20$ 行，则：

$$\mathrm{Student} \times \mathrm{SC}$$

产生的元组数量为：

$$5 \times 20 = 100$$

其中很多组合并没有实际业务意义。因此实际查询通常要在笛卡尔积基础上增加连接条件。

6.2 条件连接

查询学生姓名及其选课成绩，需要将学生和选课记录按照相同学号连接：

$$\pi_{\mathrm{Student.Sno},\mathrm{Sname},\mathrm{Cno},\mathrm{Grade}} \left( \mathrm{Student} \bowtie_{\mathrm{Student.Sno}=\mathrm{SC.Sno}} \mathrm{SC} \right)$$

这相当于 SQL 中的：

SELECT Student.Sno, Sname, Cno, Grade
FROM Student
JOIN SC ON Student.Sno = SC.Sno;

6.3 等值连接与自然连接

等值连接是连接条件使用等号的连接。例如：

$$\mathrm{Student} \bowtie_{\mathrm{Student.Sno}=\mathrm{SC.Sno}} \mathrm{SC}$$

自然连接会在两个关系的同名且可比较属性上进行相等连接，并去掉结果中重复出现的同名连接属性。

若 $\mathrm{Student}$ 和 $\mathrm{SC}$ 的同名联系属性只有 $\mathrm{Sno}$，则可以简写为：

$$\mathrm{Student} \bowtie \mathrm{SC}$$

考试中如果同名属性含义不够明确，写出连接条件通常更稳妥。

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7. 多表连接题的写法

题目：查询“选修了课程名称为数据库系统的学生学号和姓名”。

需要使用三个关系：$\mathrm{Student}$ 提供姓名，$\mathrm{SC}$ 表示学生选了哪门课程，$\mathrm{Course}$ 提供课程名称。

若使用自然连接表达，可以写为：

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Sname}} \left( \mathrm{Student} \bowtie \mathrm{SC} \bowtie \sigma_{\mathrm{Cname}=\text{'数据库系统'}}(\mathrm{Course}) \right)$$

如果需要显式写连接条件，则可写为：

$$\pi_{\mathrm{Student.Sno},\mathrm{Sname}} \left( \left( \mathrm{Student} \bowtie_{\mathrm{Student.Sno}=\mathrm{SC.Sno}} \mathrm{SC} \right) \bowtie_{\mathrm{SC.Cno}=\mathrm{Course.Cno}} \sigma_{\mathrm{Cname}=\text{'数据库系统'}}(\mathrm{Course}) \right)$$

解题顺序是：先找出课程名称对应的课程，再通过 $\mathrm{SC}$ 找到选修者，最后通过 $\mathrm{Student}$ 显示学生姓名，并用投影只保留题目要求的列。

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8. 除运算 $\div$：处理“全部”问题

8.1 除运算什么时候出现

题目中出现“全部”“所有”“每一门”“至少包含指定集合中的每一个”等表述时，应首先想到除运算。

一般形式是：

$$R(X,Y) \div S(Y)$$

其结果保留满足下列条件的 $X$：

$$\forall y \in S,\quad (x,y) \in R$$

也就是：对 $S$ 中的每一个对象，$x$ 都与之存在匹配关系。

8.2 示例：查询选修了全部课程的学生学号

在关系 $\mathrm{SC}(\mathrm{Sno},\mathrm{Cno},\mathrm{Grade})$ 中，先保留学生号与课程号：

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC})$$

全部课程号集合为：

$$\pi_{\mathrm{Cno}}(\mathrm{Course})$$

因此表达式为：

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC}) \div \pi_{\mathrm{Cno}}(\mathrm{Course})$$

结果为满足“对全部课程号都存在选课记录”的学生学号。

8.3 示例：查询选修了学生 $\mathrm{S01}$ 所选全部课程的学生

指定学生 $\mathrm{S01}$ 所选课程集合为：

$$\pi_{\mathrm{Cno}} \left( \sigma_{\mathrm{Sno}=\text{'S01'}}(\mathrm{SC}) \right)$$

所有学生选课关系除以该课程集合：

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC}) \div \pi_{\mathrm{Cno}} \left( \sigma_{\mathrm{Sno}=\text{'S01'}}(\mathrm{SC}) \right)$$

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9. 高频题型练习与答案

仍使用以下三个关系：

$$\begin{aligned} \mathrm{Student}(\mathrm{Sno},\ \mathrm{Sname},\ \mathrm{Ssex},\ \mathrm{Smajor}) \\ \mathrm{Course}(\mathrm{Cno},\ \mathrm{Cname},\ \mathrm{Credit}) \\ \mathrm{SC}(\mathrm{Sno},\ \mathrm{Cno},\ \mathrm{Grade}) \end{aligned}$$

题目1：查询女生的学号与姓名

$$\pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Sname}} \left( \sigma_{\mathrm{Ssex}=\text{'女'}}(\mathrm{Student}) \right)$$

题目2：查询选修 $\mathrm{C01}$ 且成绩大于 $80$ 分的学生学号

$$\pi_{\mathrm{Sno}} \left( \sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'} \land \mathrm{Grade}>80}(\mathrm{SC}) \right)$$

题目3：查询选修 $\mathrm{C01}$ 的学生姓名

$$\pi_{\mathrm{Sname}} \left( \mathrm{Student} \bowtie \sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC}) \right)$$

题目4：查询没有选修 $\mathrm{C01}$ 的学生学号

$$\pi_{\mathrm{Sno}}(\mathrm{Student}) - \pi_{\mathrm{Sno}} \left( \sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC}) \right)$$

这里不能只从 $\mathrm{SC}$ 中找课程号“不等于 $\mathrm{C01}$”的记录，因为一个学生可能同时选了 $\mathrm{C01}$ 和其他课程。

题目5：查询同时选修 $\mathrm{C01}$ 和 $\mathrm{C02}$ 的学生学号

$$\pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC})\right) \cap \pi_{\mathrm{Sno}}\left(\sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C02'}}(\mathrm{SC})\right)$$

题目6：查询选修课程学分大于等于 $3$ 的学生姓名和课程名称

$$\pi_{\mathrm{Sname},\mathrm{Cname}} \left( \mathrm{Student} \bowtie \mathrm{SC} \bowtie \sigma_{\mathrm{Credit} \ge 3}(\mathrm{Course}) \right)$$

题目7：查询选修了所有课程的学生姓名

先得到满足条件的学号，再与学生关系连接：

$$\pi_{\mathrm{Sname}} \left( \mathrm{Student} \bowtie \left( \pi_{\mathrm{Sno},\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC}) \div \pi_{\mathrm{Cno}}(\mathrm{Course}) \right) \right)$$

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10. 关系代数与SQL对照记忆

关系代数	SQL中的对应思路
$\sigma_F(R)$	SELECT ... FROM R WHERE F
$\pi_{A,B}(R)$	SELECT DISTINCT A, B FROM R
$R \bowtie_F S$	R JOIN S ON F
$R \cup S$	UNION
$R - S$	EXCEPT 或差集逻辑
$R \cap S$	INTERSECT
$R \div S$	通常用双重 NOT EXISTS 或分组计数表达

对照 SQL 有助于理解，但闭卷题目要求写关系代数时，必须写正确符号和运算顺序。

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11. 最容易丢分的地方

11.1 输出列忘记投影

题目只要求姓名，却把整个连接结果写出来。正确表达式最外层通常要有投影：

$$\pi_{\mathrm{Sname}}(\cdots)$$

11.2 “没有选某课”写成不等于

下面这种写法是错误的：

$$\pi_{\mathrm{Sno}} \left( \sigma_{\mathrm{Cno} \ne \text{'C01'}}(\mathrm{SC}) \right)$$

该结果会错误包含“既选了 $\mathrm{C01}$ 又选了其他课程”的学生。正确方法使用差集：

$$\pi_{\mathrm{Sno}}(\mathrm{Student}) - \pi_{\mathrm{Sno}} \left( \sigma_{\mathrm{Cno}=\text{'C01'}}(\mathrm{SC}) \right)$$

11.3 混淆选择和投影

$$\sigma:\ \text{筛行，下面标注筛选条件} \qquad \pi:\ \text{选列，下面标注保留属性}$$

11.4 看到“所有”却没有想到除法

题干中只要出现“所有课程”“每个项目”“全部指定对象”，就优先判断是否需要使用除运算 $\div$。

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12. 闭卷背诵版

关系代数以关系为运算对象，以关系为运算结果。传统集合运算包括并、差、交和笛卡尔积；专门的关系运算包括选择、投影、连接和除。

选择运算 $\sigma$ 用于筛选满足条件的元组，即筛行；投影运算 $\pi$ 用于选取需要的属性，即选列；连接运算 $\bowtie$ 用于根据相关属性把不同关系中的数据组合起来；自然连接会去掉重复的同名连接属性；除运算 $\div$ 常用于表达“满足全部条件”的查询。

写表达式时应先确定需要哪些关系和联系，再写筛选条件，最后投影题目要求输出的属性。查询“没有”通常用差运算，查询“全部”通常考虑除运算。