开导！

区区导数

区区变化率

高中都学过

定义求导

但是怎么定义求导还是要记一下的，总的来说就是

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 其实这个高中也学过

不过类似于极限，导数也有左右，左导数和右导数统称为单侧导数

和极限一样，如果一个点左右导数一样且连续，那这个点是可导（光滑） 的，即

$f_-'(x_0)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f_+'(x_0)$

必须要注意的是：分段函数的分段点处必须用定义求导

老生常谈的求导法则

加减乘除就不说了，都会

反函数

简单来说就是

$\displaystyle[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ 显然要 $f(y)≠0$ 且单调

复合函数

有个 $y=f[g(x)]$ ，令 $u=g(x)$ 那导数就是 $y'=f'(u) g'(x)$

导数开花阶阶高

高阶导数这东西，一般是可以慢慢算找规律的吧

比如

\begin{aligned} &(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2}) \\ &(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax} \end{aligned}

还有的之后再补

对于两个乘在一起的函数的高阶导数，有个大概是莱布尼兹发现的莱布尼兹公式

(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}

挺像那个二项式定理的，但算起来很麻烦

是你，隐函数！

隐函数求导需要和上边的复合函数求导一起看……当年就是不记得复合函数求导而痛失过五分啊

隐函数就是 $x$ 和 $y$ 都在同一侧的函数，与之对应，平时看到的函数叫显函数

对其求导也是十分简单：两边同时对 $x$ 求导，有 $y$ 就按复合函数求导来

参数方程又是何方神圣

有这么一个参数方程

\left\{ \begin{aligned} &x=\phi(t) \\ &y=\psi(t) \end{aligned} \right.

那该怎么求 $\frac{dy}{dx}$ 呢，显然

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

然后上下同除 $dt$ 变成

\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}

所以只要求 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 的导数就好了，二阶导不过就是再套一层，把 $\displaystyle \frac{d^2y_x}{dx^2}$ 变成 $\displaystyle \frac{d(y_x')}{dx}$ 便能继续上下同除 $dt$ 了

洛必达！

也就是当 $\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{0}{0}$ 时，有

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

也就是此时两数之比与导数之比相等

泰勒

一个能将那些不是多项式的函数用多项式拟合的方法……具体怎么实现我觉得并不重要了

一些应试的东西都在这里

熟悉的单调性以及没那么熟悉的东西

单调性和高中没区别

凹凸性

凹指函数在某一区间上增速（即导数）越来越快，一个例子是 $y=x^2$

凸则反过来，一个例子是 $y=-x^2$

显然衡量导数的变化率用的是二阶导，也就是说， $f''(x)>0$ 时函数为凹， $f''(x)<0$ 时为凸

如果凹凸性在一个点发生了变化，也就是说这个点处的二阶导为零，两边的二阶导一正一负，那这个点被称为拐点

拐点也可能来自于二阶导不存在

极值和最大最小值

有两种方法

第一种和高中时的一样，找到 $f'(x)=0$ 的点，然后看这个点两边的 $f'(x)$ 是否有变化就好

第二种也要找出 $f'(x)=0$ 的点，然后看这个点处的二阶导，如果 $f''(x)<0$ ，那这里就是极大值点，反之当 $f''(x)>0$ 时即为极小值点

第二种方法在之后会使用得更多

曲率

曲率是个高中都学过的东西，就是拿来衡量某一点的弯曲程度的，记作 $K$

虽然我也不记得怎么来的了，但是

K=\frac{\vert y'' \vert}{(1+y'^2)^{\frac32}}

曲率圆的半径叫曲率半径，又记作 $\rho$

\rho=\frac1K

开导！