抽象的代数系统

恭喜你，你已经来到了离散数学这门课最最难的一个部分，抽象代数！

但是放轻松，这破大专的学生水平还不至于学数学系的抽代，事实上这部分内容“是个人都能学会”（某酒吧舞数学老师语）， 说人话就是这部分内容没有任何前置知识

那就……从最基本的数学学起吧！

代数系统

一二三四第一课：代数系统

在集合 $A$ 上，由 $n$ 个输入得到一个输出，即函数 $f$ ： $A^n \rightarrow A$ 叫做 $A$ 上的 $n$ 元代数运算，简称 $n$ 元运算。我们当然有一元运算、二元运算和多元运算

由定义可得，代数运算必须是建立在某个集合之上的。对于相同的输入，只会输出相同的结果，即这玩意有唯一性；定义域是 $A$ 的 $n$ 次方，这叫代数运算的全域性；运算结果仍属于 $A$ ，这是代数运算的封闭性

有两种比较常见的代数运算，专家为它们拟定了专门的符号

$\oplus_k$ 叫做模 $k$ 加法， $a\oplus_k b = (a + b) \mod k$ ， $\otimes_k$ 叫做模 $k$ 乘法， $a\otimes_k b = (a \times b) \mod k$ ，不难发现， $\oplus_k$ 和 $\otimes_k$ 都是 $N_k$ （小于 $k$ 的自然数集）上的二元运算

很显然一个集合上面能不止有一个代数运算，专家把一个集合和它上面的一些代数运算打包起来，叫做代数系统，记作 $<A,\sharp_1,\sharp_2,\cdots,\sharp_m>$ （这个 sharp 怎么这么细）， $A$ 叫做这个代数系统的载体

显然 $<N_k,\oplus_k>,<N_k,\otimes_k>,<N_k,\oplus_k,\otimes_k>$ 以及人人都熟悉的 $<R,+,\times>$ 都是代数系统

如果 $<A,\sharp_1,\sharp_2,\cdots,\sharp_m>$ 是个代数系统，有 $T \subseteq A$ ，然后 $<T,\sharp_1,\sharp_2,\cdots,\sharp_m>$ 还是个代数系统，那后者就叫前者的子代数系统

加减乘除第二课：运算性质

我写到一半才想起来好像 abc 一般是用来表示常量的（

即使是自定义的运算，可有满足交换律与结合律的可能！假如你定义了一个运算 $*$ ，如果对 $\forall a,b \in A$ 有 $a * b = b * a$ ，它就是可交换的，结合律则是有 $(a*b)*c=a*(b*c)$

由于某些运算并不是可交换的，所以一些运算律会存在左右的区别。如果又定义了一个运算 $\Delta$ ，有 $\forall a,b,c \in A$ 有 $a * b = b * a$ $a * (b \Delta c) = (a * b) \Delta (a * c)$ ，那 $\Delta$ 就是对 $*$ 左可分配的**，同理也有右可分配的，如果一个运算既是可左分配的又是可右分配的，那这个运算就是对 $*$ 可分配的

如果有 $\forall a,b \in A$ ， $a*(a\Delta b)=a$ ，那 $*$ 对 $\Delta$ 就是左可吸收的，同理也有右可吸收的和可吸收的

如果 $\forall a \in A$ 有 $a*a=a$ ，那 $*$ 满足幂等律

如果 $\forall a,b,c \in A$ ， $x*y=x*z$ 且 $y=z$ ，那 $*$ 就是左可消去的，同理也有右可消去的和可消去的

晕头转向第三课：特殊元素

有的时候，找到一个特殊的元素是非常重要的！一共有五种特殊元素需要记

在一个运算中，可以有……

• 等幂元指的是这个元素和自己运算还是得到自己，比如 $0 + 0 = 0$ ， $1 \times 1 = 1$ 都是对应运算的等幂元
• 幺元或者单位元指的是这个元素和另一个元素运算总是得到另一个元素，比如 $0 + 2 = 2$ ， $1 \times 3 = 3$ ，幺元是分左右的，常用 $e$ 表示，证明一个元素是幺元要分两边证明
• 零元指的是这个元素和另一个元素运算总是得到自己，比如 $0 \times 120 = 0$ ，零元也是分左右的，常用 $\theta$ 表示零元，证明一个元素是零元也要分两边证明
• 逆元指的如果是一个元素和另一个元素运算得到幺元，那另一个元素就是它的逆元，比如 $x*y=e$ ，那 $x^{-1} = y$ ，逆元还是分左右的
• 消去元指的是如果这个元素和两个元素运算结果一致，那那两个元素相等，消去元当然也是分左右的

这些特殊元素虽然看着简单，但求起来也是各有千秋，最好最好还是多写点题学学方法喵

相互联系第四课：同构、同态和商代数系统

这部分内容老师没直接讲，但是仍然在考试中出现过

同构

类似于图的同构，代数系统的同构也是类似的：如果你能在另一个代数系统中找到这个代数系统的所有元素的对应，且每个元素间运算结果也是对应的。用符号表示长这样：若存在 $S$ 到 $T$ 的双射函数 $f:S\rightarrow T$ ，使 $S$ 中的任意 $a$ 与 $b$ 有 $f(a*b)=f(a)\circ f(b)$ ，那么代数系统 $<S,*>$ 与 $<T,\circ>$ 同构， $f$ 叫做 $S$ 到 $T$ 的同构映射

如果一个同构映射表示一个代数系统到它自己，那这个同构映射叫这个代数系统的自同构映射，而这个代数系统是自同构的

想想应该能明白，代数系统之间的同构关系就是等价关系

*同态

以下内容没在考试中出现过（我猜的

同态是同构的削弱情况，若存在 $S$ 到 $T$ 的函数 $f:S\rightarrow T$ （不再是双射了！），使 $S$ 中的任意 $a$ 与 $b$ 有 $f(a*b)=f(a)\circ f(b)$ ，那 $f$ 叫做 $S$ 到 $T$ 的同态映射， $<T,\circ>$ 和 $<S,*>$ 同态， $f(S)$ 是同态像

如果 $f$ 单射，那 $f$ 叫单一同态映射；如果 $f$ 满射，那 $f$ 叫满同态映射；如果 $f$ 双射，那 $f$ 就是上面的同构映射

一样的， 如果一个同态映射表示一个代数系统到它自己，那这个同态映射叫这个代数系统的自同态映射，而这个代数系统是自同态的

如果 $f$ 是 $<S,*>$ 到 $<T,\circ>$ 的一个同态映射，那就会有下面的性质：

• 如果 $*$ 可交换或可结合，那 $\circ$ 在 $f(s) \subseteq T$ 里面也是可交换或可结合的
• 如果 $e$ 和 $\theta$ 分别是 $*$ 的单位元和零元，那它们也是 $<f(S),\circ>$ 上的单位元和零元
• 逆元和等幂元也都是在 $<f(S),\circ>$ 里面一一对应的

但是可消去元只有在满同态映射的情况下才会一一对应

如果 $e$ 是 $<T,\circ>$ 的幺元，那 $\{ x|x \in S,f(x) = e \}$ 就叫同态映射 $f$ 的 核（kernal） ，简称同态核，记作 $\text{Ker}(f)$ ， $<\text{Ker}(f),*>$ 是 $<S,*>$ 的子代数系统

*商代数系统

专家受到了商集的启发，觉得代数系统也可以有商集的参与，如果让商集中的两个集合的元素进行运算，得到的结果都在商集的某个集合里面，那是一件多么美好的事啊

其实在 $N_k$ 上面的同余关系得到的商集加上模 $k$ 加法就是这样的

这还有专家给出的同余关系的定义： $<A,*>$ 是个代数系统， $R$ 是 $A$ 上的等价关系， 对 $\forall x_1,x_2,y_1,y_2 \in A$ ，如果 $<x_1,x_2> \in R$ 且 $<y_1,y_2> \in R$ 时，一定有 $<x_1*y_1,x_2*y_2> \in R$ ，那 $R$ 叫做 $A$ 上关于 $*$ 的同余关系， $A$ 关于 $R$ 的等价类又叫做同余类

如果 $<A,*>$ 是个代数系统， $R$ 是 $A$ 上的同余关系，如果在 $A/R$ 上定义二元运算 $\odot : \forall x,y \in A,[x]_R \odot [y]_R = [x*y]_R$ ，那 $<A/R,\odot>$ 就叫 $<A,*>$ 的商代数系统，简称商代数

写不动了之后再来补。。。