欧氏空间、特征向量和相似对角化？

有些东西太简单了就不放进来浪费时间了

化为正交

如果要把一组基化为正交基，那最常用的方法叫做格拉姆-施密特正交化方法(Gram-Schmidt process) ，就是计算量可能有一点大

下面的$(\alpha_2,\beta_1)$意为$\alpha_2$和$\beta_1$的点积

$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$是原本的一组不正交的向量

$$\left\{ \begin{aligned} &\beta_1 = \alpha_1 \\ &\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 \\ &\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 \end{aligned} \right.$$

得到的$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$就是一组正交向量，两者作为基是等价的

更多的向量以此类推就好

另外，$(\beta_1,\beta_1)$算的是$\beta_1$的平方！！！不是它的长度！！！

这有一张相关的图，来自维基百科。其中的$v$在$V^2$上投影，构造出$V^3$上的正交基$\beta$

还有一个概念叫做正交矩阵，一个满足$A^TA=AA^T=E$的矩阵$A$就是正交矩阵，这个矩阵对应的线性变换只旋转而不缩放，于是向量的前后长度是不会变的

可以发现$A^T=A^{-1}$

$A^{-1}$和$A^t$也都是正交矩阵，而且$\vert A\vert=±1$，如果$B$也是同阶的正交矩阵，那$AB$也是正交矩阵

何为特征

特征向量就是经过一个线性变换后指向方向没有改变的向量，特征值就是经过这个线性变换后向量长度缩放的值，即

$Av=\lambda v$ 其中$v$为特征向量，$\lambda$为特征值，一组特征向量和特征值也可以表示一个线性变换

一个$n$阶的方阵会有$n$个对应的特征值，尽管可能重复

$\lambda$怎么算

由定义可知$(A-\lambda)v=0$，即$\left \vert A-\lambda E \right\vert = 0$

所以只要解$\vert A-\lambda E\vert=0$这个方程就好（解$\vert\lambda E-A\vert=0$也是一样的

得出的几个$\lambda$就是特征值，每个特征值对应的解的数量叫做它的代数重数，对应的线性无关的向量的数量叫做几何重数

几何重数亦可称为是这些向量张成的特征子空间的维数

一个矩阵的特征值正负数量分别被称为它的正惯性指数和负惯性指数

特征向量怎么算

既然已经算出了$\lambda$的值，接下来就代入原式$(A-\lambda)v=0$算就好了（当然也有可能是$(\lambda-A)v=0$

乱七八糟的性质

特征值与迹

专家研究发现$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i$，也就是主对角线上面所有元素的和等于所有特征值的和（重复的特征值也要重复算！）然后这个和还被起了个新名字叫迹，$A$的迹记作$tr(A)$，看起来是和秩属于同一批产物

以及$\vert A \vert =\displaystyle \prod_{i=1}^n \lambda_i$，用人话讲就是特征值的积等于矩阵行列式的值

矩阵变形的特征值

如果说$\lambda$是$n$阶方阵$A$的特征值

那$A^m$的特征值就是$\lambda^m$，$kA$的特征值就是$k\lambda$，而特征向量不变

如果$A$还是可逆的，那$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle\frac{1}{\lambda}$，而$\displaystyle\frac{A}{\lambda}$就是$A^*$的特征值，而特征向量还是不变

转置不改变特征值，但是特征向量不确定

相似为对角

==$n$阶方阵$A$可相似对角化的充要条件是$A$的每个特征值的代数重数等于它的几何重数==

那啥是相似对角化？

相似对角化顾名思义就是把矩阵化为一个相似的对角阵，此时由于对角阵的特性，算其幂次时会相当方便

不过可能是由于我们的水平太拉了，老师只教了怎么把实对称矩阵化为对角阵

实际也不难

对一个实对称矩阵而言，必定与一个对角阵相似，所以都是有结果的

==对于实对称矩阵，不同特征值算出来的特征向量是正交的==

目标很简单，如果有个$3$阶实对称矩阵$A$，把它相似对角化就是求一个正交矩阵$Q$实现

$$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda= \left[ \begin{matrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{matrix}\right]$$

$Q$又由三个单位向量组成，即$Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$，$\lambda$ 和 $\eta$ 的位置必须要相对应，不然不对

接下来就开始算吧

首先用上面的方法算出特征值和特征向量，然后看这几个特征向量是否正交，不正交就统统正交化

最后单位化（长度变为1）就得到$(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$了