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Notes

常见的代数系统

注意！注意！你已经来到了这门课最最难的部分！这部分的内容是 （可以） 相当有深度的，所以这些东西可能会比较枯燥

幸好，考试只靠抽象代数的超级削弱版，也就是只有半群和群

半群和群

Section titled “半群和群”

初入群聊第五课： 先是半群

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半群指的是 <S,∗><S,*> 这样一个代数系统，二元运算 ∗* 满足结合律，按照其中元素数量的有限与无限，也可以为其加上有限或无限的前缀

专家发现有限半群里面一定有等幂元，证明过程嘛……我懒得写了（但大抵是基于代数运算的封闭性吧

如果一个半群 <S,∗><S,*> 有到另一个代数系统 <T,∘><T,\circ> 的同态映射 ff ，那 <f(s),∘><f(s),\circ> 也是一个半群

对一个半群 <S,∗><S,*> ，如果 BB 是 SS 的子集，而且 <B,∗><B,*> 也是半群，那 <B,∗><B,*> 就是 <S,∗><S,*> 的子半群；显然，如果 ∗* 在 BB 上是封闭的， <B,∗><B,*> 就肯定是 <S,∗><S,*> 的子半群

如果一个半群有幺元的话，这个半群就叫含幺半群或独异点，类似子半群，也有子独异点的定义

[!tip] 子独异点的幺元要和其父独异点（我随便这么叫的）相同子独异点的幺元要和其父独异点（我随便这么叫的）相同

深入群聊第六课：好一个群

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在独异点的基础上，如果集合里面每个元素都有对应的逆元，那它就是一个 群（group）

和半群一样，群也有有限群和无限群的概念，有限群 <G,∗><G,*> 里 GG 的元素个数叫做这个群的阶数，跟集合一样记作 ∣G∣|G| ，对于群里面的某个元素 aa ，能使 an=ea^n=e 的最小的正整数 nn 叫做 aa 的阶数，这个 aa 叫有限阶元素，写作 ∣a∣=n|a|=n ，如果这个 nn 不存在， aa 就是无限阶元素

对于一个群 <G,∗><G,*> 专家总结出了一堆性质

  • 幺元是唯一的等幂元
  • ∣G∣≥2|G| \geq 2 时，就没有零元了
  • 若 a∗b=ba * b = b 或 b∗a=bb*a=b ，那 aa 就是幺元
  • 所有元素都是可消去的
  • (a∗b)−1=b−1∗a−1,(an)−1=(a−1)n(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1},(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n
  • a∗x=ba*x=b 和 y∗a=by*a=b 都有唯一解
  • ∣a∣=∣a−1|a|=|a^{-1}|
  • 有限群的每个元素都是有限阶的，且元素阶数 ≤∣G∣\leq |G|
  • 若 ∣a∣=r|a|=r ，则 nmod  r=0n\mod r = 0 时有 an=ea^n=e （因为 nn 是 rr 的倍数，而 ar=ea^r=e （见阶的定义））

如果知根知底的话……这些性质不算难记……但是套了太多层了，确实不好记啊

群亦有子群，除了 <G,∗><G,*> 和 <{e},∗><\{e\},*> 叫做平凡子群，因为这两个子群是每个群都有的，别的子群都叫做非平凡子群

显然子群中每个元素的逆元也要在那个子集里面

如果一个群的子群的元素都可以用一个阶数为 kk 的元素 aa 表示，即 ∣a∣=k|a|=k ，令 A={a,a2,⋯ ,ak}A=\{ a,a^2,\cdots,a^k \} ，那 <A,∗><A,*> 叫原群的 kk 阶子群

如果群 <G,∗><G,*> 有个子群 <H,∗><H,*> ，a∈Ga \in G ，一个记作 aH={a∗h∣h∈H}aH=\{ a*h|h \in H \} 的集合叫做 HH 的左陪集，同理 Ha={h∗a∣h∈H}Ha=\{ h*a|h \in H \} 是右陪集，若 aH=HaaH=Ha ，那它们就直接叫做陪集。 aa 是陪集的代表元素

（此处省略一些陪集的性质，因为我懒，有时间了再补）

拉格朗日定理：有限群 <G,∗><G,*> 与其子群 <H,∗><H,*> 必有 ∣G∣/∣H∣|G|/|H| 为整数

于是就有了推论：对 nn 阶有限群，其中元素 ∣a∣=k|a|=k ，则 n/kn/k 为整数， an=ea^n=e （好眼熟

这部分内容似乎不太可能会考……？

如果 <G,∗><G,*> 一个子群 <H,∗><H,*> 对于 ∀g∈G\forall g \in G ，都有 Hg=gHHg=gH ，那 <H,∗><H,*> 叫做 <G,∗><G,*> 的正规子群或正则子群，对于 ∀h∈H\forall h \in H ，有 g∗h∗g−1∈Hg*h*g^{-1}\in H ； <H,∗><H,*> 的陪集可以导出 GG 上的同余关系，并且 <G,∗><G,*> 的商代数 <G/H,⊙><G/H,\odot> 为群， <G/H,⊙><G/H,\odot> 可以叫做商群

<G,∗><G,*> 和 <G/H,⊙><G/H,\odot> 同态

坏了真的看不懂了投降喵补继续看了喵

奇妙群聊第七课：特殊的群

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我们能见到有那么多群，肯定有一些是比较特别的，比如什么交换群啊，循环群啊，置换群啊

如果一个群 <G,∗><G,*> 满足交换律，那这个群叫交换群或阿贝尔群，只要一个群满足

(x∗y)∗(x∗y)=(x∗x)∗(y∗y)(x*y)*(x*y)=(x*x)*(y*y)

那这就是一个交换群，由于交换群的子群的左右陪集必然相等，所以它的子群都是正规子群

如果一个群中所有元素都可以用其中一个元素 aa 的幂表示（令 a0=ea_0=e ），即 G={ak∣k∈Z}G=\{ a^k|k \in Z \} ，那这个群叫做循环群，记作 G=<a>G=<a> ， aa 叫这个群的生成元，循环群同样分为有限和无限的

在 nn 阶群 <G,∗><G,*> 里面，如果 aa 是 nn 阶元素，那 aa 就是生成元， <G,∗><G,*> 是循环群， G={a0,a,a2,⋯ ,an−1}={a,a2,a3,⋯ ,an}G=\{ a^0,a,a^2,\cdots ,a^{n-1} \} = \{ a,a^2,a^3,\cdots ,a^{n} \}

如果一个群的阶数是素数，那这个群必定是个循环群，除了幺元外的所有元素都是生成元

在同态映射下，循环群对应过去的 <f(S),∘><f(S),\circ> 也是循环群

专家总结了一些循环群的性质：

  • 循环群是交换群
  • 在生成元为 aa 的 nn 阶循环群 <G,∗><G,*> 里面，不仅有 ∣a∣=n|a|=n ，还有 <G,∗><G,*> 与 <Nn,⊕n><N_n,\oplus_n> 同构
  • 在生成元为 aa 的无限循环群里面，有 aa 和 a−1a^{-1} 两个生成元， G={a0,a±1,a±2,⋯ ,a±n,⋯ }G=\{ a^0,a^{\pm 1},a^{\pm 2},\cdots,a^{\pm n},\cdots \} 并与 <Z,+><Z,+> 同构
  • 循环群的子群还是循环群
  • 对生成元为 aa 的 nn 阶循环群 <G,∗><G,*> ，如果正整数 kk 能整除 nn ，那这个循环群有且只有一个 kk 阶循环子群

*置换群

留给以后的自己吧……