01、数制补码与定点浮点运算

这一部分对应课程目标 1 中的前三个重点：

定点加减法运算
定点乘法运算
浮点加减法运算

课程总结还特别提醒：课程先导基本知识包括进制转换、真值/补码的相互转换。课堂截图前几次课也大量出现真值、机器数、原码、补码、浮点规格化例题，所以这部分基本可以认为是计算题基础。

教材查阅：数的机器码、定点数和浮点数表示见第 18-29 页；定点加减法见第 57-61 页；定点乘法见第 66-72 页；浮点加减法见第 78-81 页。

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一、真值、机器数和常见编码

教材查阅：第 18-23 页，重点看 2.2.1“数的机器码表示”。

1. 真值

真值就是带正负号的实际数值。

例如：

+1011
-1011
+0.1011
-0.1011

真值强调数学意义，符号直接写成 + 或 -。

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2. 机器数

机器数是计算机内部存储的二进制编码。机器数通常把符号也编码进二进制位中。

常见约定：

最高位为符号位
0 表示正数
1 表示负数

例如 8 位机器数：

0000 1011

如果按原码理解，它表示 +11。

1000 1011

如果按原码理解，它表示 -11。

注意：同一个二进制串按不同编码解释，数值可能不同。所以考试必须看清题目要求是原码、反码还是补码。

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例题1：数制转换

将十进制数 $45.625$ 转换为二进制和十六进制。

整数部分：

$$45=32+8+4+1$$

所以：

$$45_{10}=101101_2$$

小数部分用乘 2 取整：

$$0.625\times2=1.25$$

取整数位 $1$，余 $0.25$。

$$0.25\times2=0.5$$

取整数位 $0$，余 $0.5$。

$$0.5\times2=1.0$$

取整数位 $1$，余 $0$。

所以：

$$0.625_{10}=0.101_2$$

合起来：

$$45.625_{10}=101101.101_2$$

二进制转十六进制，从小数点两侧分别每 4 位分组：

$$101101.101_2=0010\ 1101.1010_2$$

因此：

$$45.625_{10}=101101.101_2=2D.A_{16}$$

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二、原码、反码、补码

1. 原码

原码规则：

符号位表示正负
数值位表示绝对值

例如 8 位原码：

+5 = 0000 0101
-5 = 1000 0101

原码的优点是直观，缺点是不方便做加减运算，并且有 +0 和 -0 两种表示。

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2. 反码

反码规则：

正数反码 = 原码
负数反码 = 符号位不变，数值位逐位取反

例如 8 位：

+5 原码 = 0000 0101
+5 反码 = 0000 0101

-5 原码 = 1000 0101
-5 反码 = 1111 1010

反码也有 +0 和 -0 的问题。

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3. 补码

补码规则：

正数补码 = 原码
负数补码 = 反码 + 1

例如 8 位：

+5 补码 = 0000 0101

-5 原码 = 1000 0101
-5 反码 = 1111 1010
-5 补码 = 1111 1011

补码最重要的优点是：

减法可以转换为加法
符号位可以一起参与运算
0 的表示唯一

所以计算机中定点整数加减通常使用补码。

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例题2：原码、反码、补码

用 8 位机器数表示 $-37$ 的原码、反码和补码。

先写出 $+37$：

$$37=32+4+1$$

所以：

$$+37=00100101_2$$

负数原码：符号位为 $1$，数值位不变。

$$[-37]_{原}=10100101$$

负数反码：符号位不变，数值位取反。

$$[-37]_{反}=11011010$$

负数补码：反码加 $1$。

$$[-37]_{补}=11011010+1=11011011$$

答案：

$$[-37]_{原}=10100101,\quad [-37]_{反}=11011010,\quad [-37]_{补}=11011011$$

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三、补码范围

教材查阅：第 23-25 页，重点看 2.2.2“定点数表示”。

1. n 位补码整数范围

若机器字长为 n 位，其中 1 位符号位，补码整数范围是：

$$-2^{n-1} \leq x \leq 2^{n-1}-1$$

例如 8 位补码整数：

$$-2^7 \leq x \leq 2^7-1$$

即：

$$-128 \leq x \leq 127$$

容易错的点：

补码负数比正数多表示一个最小负数
8位补码最小值是 -128，不是 -127

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2. 定点小数补码范围

如果是 1 位符号位加 n 位小数位，补码定点小数范围为：

$$-1 \leq x \leq 1-2^{-n}$$

例如 1 位符号位加 7 位小数位：

$$-1 \leq x \leq 1-2^{-7}$$

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四、补码加减法

教材查阅：第 57-59 页，重点看 3.2.1“补码加减法运算方法”。

1. 基本思想

补码加法：

$$[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补}$$

补码减法：

$$[x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}$$

也就是说，减法先把减数变成相反数的补码，再做加法。

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2. 补码加减的一般步骤

做题时可以按下面写：

1. 根据题目位数写出 $[x]_{补}$ 和 $[y]_{补}$。
2. 如果是减法，先求 $[-y]_{补}$。
3. 按二进制加法相加，符号位一起参加运算。
4. 舍弃最高进位。
5. 根据符号位和溢出规则判断结果是否正确。
6. 若无溢出，把补码结果转换成真值。

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五、变形补码和溢出判断

教材查阅：第 59-61 页，重点看 3.2.2“溢出及检测”。

课程总结特别强调：掌握补码加减法及溢出判断过程，尤其是变形补码。

变形补码也叫双符号位补码，用两个符号位表示结果符号和溢出情况。

课程总结给出的判断表：

双符号位 $S_{f1}S_{f2}$	含义
00	结果为正数，无溢出
01	正溢，也叫上溢
10	负溢，也叫下溢
11	结果为负数，无溢出

记忆方法：

两个符号位相同：无溢出
两个符号位不同：有溢出
01：正数方向溢出
10：负数方向溢出

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例题模板：补码加法

题目类型：

已知 x 和 y，求 x+y，并判断是否溢出。

答题模板：

第一步：写出 x、y 的补码。
第二步：进行补码加法。
第三步：观察双符号位。
第四步：判断是否溢出。
第五步：若无溢出，转换为真值。

如果双符号位是 01 或 10，就不要再硬解释成普通结果，应先写溢出。

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例题3：补码加法与溢出判断

用 8 位补码计算 $58+77$，并判断是否溢出。

先写补码：

$$58=00111010$$ $$77=01001101$$

相加：

$$00111010+01001101=10000111$$

两个加数都是正数，符号位都是 $0$，但结果符号位为 $1$，说明正数加正数得到负数，发生正溢出。

也可以从表示范围判断。8 位补码整数范围为：

$$-128\leq x\leq127$$

而：

$$58+77=135>127$$

所以超出表示范围。

答案：机器结果为 $10000111$，但发生正溢出，不能表示正确真值 $135$。

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六、定点乘法

教材查阅：第 66-72 页，重点看 3.3“定点乘法运算”、3.3.3“阵列乘法器”、3.3.4“补码阵列乘法器”。

课程总结列出四种乘法：

1. 原码一位乘法。
2. 补码一位乘法。
3. 带求补器的补码阵列乘法器。
4. 直接补码阵列乘法。

其中要求“了解”的是原码一位乘法、补码一位乘法；要求“掌握”的是两种补码阵列乘法。

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1. 定点乘法最容易错什么

定点乘法不是只看乘出来的数，考试最容易扣分的是：

补码位数写错
结果位数写错
符号位是否参与运算搞错
最高位权值搞错
最后真值没写

课程总结特别提醒：注意位数，尤其是计算结果位数。

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2. 带求补器的补码阵列乘法器

基本过程：

1. 先求出 $x$、$y$ 的补码。
2. 符号位单独运算。
3. 算前求补：对负数的数值部分求补，正数不求补。
4. 阵列乘法只让数值位参与运算。
5. 根据符号位异或结果判断乘积符号。
6. 若结果为负，算后求补。
7. 写出最终乘积补码和真值。

符号位规则：

$$S_z = S_x \oplus S_y$$

即：

同号为正
异号为负

结果位数：

$$结果数值位数 = 被乘数数值位数 + 乘数数值位数$$

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3. 直接补码阵列乘法

直接补码阵列乘法与带求补器方法不同，关键在于：

符号位含权，并且和数值位一起参加运算

课程总结强调：

• 先求补码。
• 符号位和数值位一起参与运算。
• 结果位数等于被乘数位数加乘数位数。
• 最高位含权，其它位不含权。
• 最高 2 位为符号位。

直接补码阵列乘法中的特殊规则：

$$(1)+1=0$$ $$(1)+0=(1)$$ $$(1)+(1)=(1)(0)$$

乘法规则：

$$(1)\times 1=(1)$$ $$(1)\times 0=(0)$$ $$(1)\times (1)=1$$

这里的 (1) 不是普通的 1，而是带负权的符号位含义。考试如果出现直接补码阵列乘法，必须按老师课件规则写，不要按普通无符号乘法硬算。

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例题4：定点乘法结果位数

用 8 位补码表示两个整数相乘：$11\times(-6)$。写出真值结果和 16 位补码结果。

先算真值：

$$11\times(-6)=-66$$

16 位正数 $66$ 为：

$$+66=00000000\ 01000010$$

求 $-66$ 的 16 位补码，先取反：

$$11111111\ 10111101$$

再加 $1$：

$$11111111\ 10111110$$

答案：

$$11\times(-6)=-66$$

16 位补码结果为：

$$11111111\ 10111110$$

注意：两个 8 位数相乘，结果通常按 16 位保存。

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七、浮点数加减法

教材查阅：第 25-29 页看浮点数表示；第 78-81 页看 3.5.1“浮点加减法运算”。

课程总结明确要求掌握浮点加减过程：

1. 运算前规格化。
2. 对阶。
3. 尾数运算。
4. 结果规格化。
5. 舍入处理。
6. 溢出判断。

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1. 浮点数一般形式

浮点数一般可以写成：

$$N = M \times r^E$$

其中：

• $M$ 是尾数。
• $E$ 是阶码。
• $r$ 是基数，二进制通常为 2。

可以理解为：

尾数决定有效数字
阶码决定小数点位置

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2. 运算前规格化

规格化的目的是让浮点数表示唯一，并尽量保留有效位。

二进制规格化常见形式：

尾数最高有效位要满足规定形式

如果尾数不是规格化数，需要先调整尾数和阶码。

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3. 对阶

浮点加减必须先让两个数阶码相同。

规则：

小阶向大阶对齐
尾数右移
阶码加 1

为什么是小阶向大阶？

因为如果大阶向小阶对齐，尾数要左移，可能造成有效位溢出；小阶向大阶时尾数右移，只是损失低位精度，更符合浮点运算规则。

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4. 尾数加减

对阶后，阶码相同，就可以对尾数进行定点加减。

公式理解：

$$M_x \times 2^E \pm M_y \times 2^E = (M_x \pm M_y)\times 2^E$$

所以尾数运算本质上就是定点加减法。

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5. 规格化处理

尾数运算后可能不再规格化，需要调整。

左规

如果尾数绝对值太小，最高有效位不满足规格化要求，就左移尾数，同时阶码减 1。

可以记成：

尾数左移一位，阶码减一

右规

如果尾数运算后产生溢出，需要尾数右移，同时阶码加 1。

可以记成：

尾数右移一位，阶码加一

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6. 舍入处理

尾数右移或规格化后，可能丢失低位，需要舍入。

常见舍入方法：

• 截断法。
• 0 舍 1 入。
• 恒置 1 法。

考试若没有特别要求，按题目给出的舍入规则做。

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7. 溢出判断

浮点数溢出主要看阶码。

阶码超过最大值：上溢
阶码小于最小值：下溢

注意：尾数溢出不一定是最终溢出，因为可以通过右规调整；阶码溢出才是真正的浮点范围溢出。

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例题5：浮点加法

计算：

$$x=1.101_2\times2^3$$ $$y=1.010_2\times2^1$$

求 $x+y$。

第一步，对阶。小阶向大阶对齐，$y$ 的阶码从 $1$ 对到 $3$，尾数右移 $2$ 位：

$$1.010_2\times2^1=0.01010_2\times2^3$$

第二步，尾数相加：

$$1.10100_2+0.01010_2=1.11110_2$$

第三步，规格化。结果已经是 $1.xxx$ 形式，不需要左规或右规。

所以：

$$x+y=1.11110_2\times2^3$$

答案：

$$x+y=1.11110_2\times2^3$$

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八、浮点加减答题模板

遇到浮点加减题，建议固定写成：

1. 检查两个操作数是否规格化。
2. 比较阶码，进行对阶，小阶向大阶对齐。
3. 对尾数进行加法或减法。
4. 对结果尾数进行规格化，必要时左规或右规。
5. 按题目要求舍入。
6. 判断阶码是否溢出。
7. 写出最终浮点结果。

流程图：

flowchart TD
    A["开始：两个浮点数"] --> B["检查是否规格化"]
    B --> C["比较阶码"]
    C --> D["对阶：小阶向大阶对齐，尾数右移"]
    D --> E["尾数加/减"]
    E --> F{"尾数是否规格化？"}
    F -->|否，太小| G["左规：尾数左移，阶码减 1"]
    F -->|否，溢出| H["右规：尾数右移，阶码加 1"]
    F -->|是| I["舍入处理"]
    G --> F
    H --> I
    I --> J{"阶码是否溢出？"}
    J -->|是| K["报告上溢/下溢"]
    J -->|否| L["写出最终结果"]

这张图的核心记忆点是：

先对阶，再尾数运算；
尾数不规格化就左规/右规；
最后才舍入和判断阶码溢出。

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九、新增题库高频补充

这一部分来自新增的作业和测验题，主要是闭卷中很容易被拿来做选择、填空和短计算的小知识点。

1. 移码

移码常用于浮点数的阶码表示。它可以理解为在补码基础上把符号位取反，也可以理解为给真值加上一个固定偏置。

以 16 位机器数为例，若真值为 $-18$，则：

$$-18=-0000000000010010_2$$

常见编码为：

编码	结果
原码	$8012H$
反码	$FFEDH$
补码	$FFEEH$
移码	$7FEEH$

考试记忆点：

补码符号位取反，就是移码。

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2. 逻辑右移和算术右移

逻辑右移不管符号，左边补 $0$；算术右移要保持符号，左边补符号位。

例如 8 位数：

$$X=11011000$$

逻辑右移 1 位：

$$X_{逻辑右移}=01101100$$

算术右移 1 位：

$$X_{算术右移}=11101100$$

原因是原数最高位为 $1$，算术右移要继续补 $1$，保持负数符号。

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3. 变形补码判断溢出的题型

变形补码使用双符号位，判断规则非常适合闭卷背诵：

双符号位	含义
$00$	正数，无溢出
$01$	正溢出
$10$	负溢出
$11$	负数，无溢出

如果题目问“如何判断溢出”，不要只说“看符号位”，要说清楚：

两个符号位相同表示没有溢出；
两个符号位不同表示发生溢出。

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4. 一位乘法和阵列乘法

一位乘法题通常考“每次看乘数最低位，决定是否加被乘数，然后移位”。阵列乘法器则更偏硬件结构，强调用多个全加器并行形成部分积并累加。

简单区分：

项目	一位乘法	阵列乘法
思想	逐位判断、逐步累加	部分积并行形成、阵列累加
速度	较慢	较快
硬件	较少	较多
常考点	手算过程	结构特点、适合硬件实现

如果题目只是让“说明阵列乘法器的特点”，可以答：

阵列乘法器通过形成多个部分积，并利用规则排列的加法器阵列并行完成累加，速度较快，但硬件开销较大。

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十、本章最容易混淆的点

1. 原码、反码、补码不要混

正数：原码 = 反码 = 补码
负数：反码是数值位取反，补码是反码加 1

2. 补码加法最高进位要舍弃

补码加法中如果超出机器字长，最高进位通常舍弃。

3. 双符号位不同就是溢出

00：正数，无溢出
01：正溢
10：负溢
11：负数，无溢出

4. 浮点对阶方向别写反

一定是：

小阶向大阶对齐
尾数右移
阶码增大

5. 定点乘法重点看位数

乘法题不是只算数值，结果位数、符号位是否参与、最终补码形式都要写。