怎么又是微分方程

在 MATLAB 里面大战微分方程（失败

前置复习：解方程，但是是微分方程

牛顿冷却定律

根据常识，我们知道物体的降温速度受到物体温度 $T(t)$ 和室温 $T_s$ 之差的影响，即

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$$

其中 $k$ 是冷却系数，一个常数

由上面那个式子可以积分再整理就可以得到

$$T(t) = T_s+Ce^{-kt}$$

此时题目应该会给一些可以代入的数值，代进去就能求解答案了

注意注意！

在 MATLAB 中，log(x)表示 $\ln x$，exp(x)表示 $e^x$

服药模型

设一次服药量为 $A$，$c(t)$ 为血液中药物浓度，$k$ 为浓度衰减系数，那么对于单次服药显然有

$$\frac{dc}{dt}=-kc$$

又由于 $c(0)=A$，于是

$$c(t)=Ae^{-kt}$$

那对于多次服药呢？可以把第 $n$ 次服药后的浓度设为 $C_n$，服药间隔为 $T$，于是就可以递推得到

$$\begin{aligned} C_1&=A \\ c(T)&=C_1e^{-kT} \\ C_2&=C_1e^{-kT} + A \\ &\cdots \\ C_{n+1} &= C_ne^{-kT}+A \end{aligned}$$

展开再展开可以发现

$$C_n=A(1+e^{-kT}+e^{-2kT}+\cdots+e^{-(n-1)kT})$$

然后我们发现这就是个等比数列求和，得到

$$C_n=A\frac{1-e^{-nkT}}{1-e^{-kT}}$$

显然 $\lim_{n \to \infty}$ 时，$e^{-nkT}\to 0$，于是 $\displaystyle C_{\text{max}} = \frac{A}{1-e^{-kT}}$，$C_{\text{min}} = C_{\text{max}}e^{-kT}$