测量误差与数据处理

这一部分在 6 月 10 日、6 月 17 日、6 月 22 日复习课中反复出现，考试可能性很高。它既能出选择填空，也能出计算大题。核心是会区分误差类型，会算绝对误差、相对误差、引用误差、仪表等级，会处理重复测量数据和置信区间。

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一、误差的基本概念

1. 绝对误差

绝对误差是测量值与真值或约定真值之差：

$$\Delta x=x-A$$

其中：

• $x$：测量值；
• $A$：真值或约定真值。

绝对误差有单位，也有正负号。

PPT例题：绝对误差与相对误差

若真值为 $100V$，测得 $101V$：

$$\Delta U=101-100=1V$$

若真值为 $5V$，测得 $6V$：

$$\Delta U=6-5=1V$$

两者绝对误差都是 $1V$，但测量质量不一样，因为相对误差不同。

2. 相对误差

相对误差是绝对误差与真值之比：

$$\gamma=\frac{\Delta x}{A}\times100\%$$

上面的两个例子：

$$\gamma_1=\frac{1}{100}\times100\%=1\%$$ $$\gamma_2=\frac{1}{5}\times100\%=20\%$$

所以：

同样 1V 误差，对 5V 测量影响很大，对 100V 测量影响较小。

3. 修正值

修正值是为了消除系统误差而加到测量值上的值：

$$C=-\Delta x$$

修正后结果：

$$x_c=x+C$$

例题：修正值

题目：

某仪表测量 100V 标准电压时示值为 101V，求绝对误差和修正值。

解：

$$\Delta U=101-100=1V$$ $$C=-1V$$

答案：

绝对误差为 +1V，修正值为 -1V。

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二、引用误差与仪表准确度等级

1. 引用误差

引用误差通常按满量程计算：

$$\gamma_m=\frac{\Delta x_{\max}}{x_m}\times100\%$$

其中：

• $\Delta x_{\max}$：最大绝对误差；
• $x_m$：仪表满量程。

2. 准确度等级

仪表等级 $s$ 表示允许引用误差的百分数。

允许最大绝对误差：

$$|\Delta x|_{\max}=\frac{s}{100}x_m$$

注意：

等级数字越小，仪表准确度越高。
0.5级 比 1.5级 更准确。

PPT例题：仪表选型

题目类型通常是：

给出被测量范围、允许误差、仪表量程，判断应选几级仪表。

解题步骤：

1. 找满量程 $x_m$；
2. 找允许最大绝对误差 $|\Delta x|_{\max}$；
3. 计算等级：

$$s\leq \frac{|\Delta x|_{\max}}{x_m}\times100$$

4. 选择等级数字不大于计算值的仪表。

例题：计算仪表等级

题目：

用满量程 100V 的电压表测量电压，要求最大误差不超过 0.5V，仪表等级至少应为多少？

计算：

$$s\leq\frac{0.5}{100}\times100=0.5$$

答案：

应选 0.5 级或更高准确度的仪表。

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三、误差分类

1. 系统误差

系统误差是在相同条件下重复测量时，误差大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。

来源：

仪表零点偏差
刻度不准
环境温度影响
测量方法不完善
理论模型近似

系统误差可以通过修正、补偿、校准等方法削弱。

2. 随机误差

随机误差是由许多不可控制的小因素引起的，大小和符号随机变化。

特点：

单次测量无法确定
多次测量服从统计规律
可通过多次测量取平均减小影响

3. 粗大误差

粗大误差是明显偏离正常测量结果的误差，又叫过失误差。

来源：

读数错误
记录错误
操作失误
仪器异常
外界突发干扰

处理原则：

发现粗大误差后，应剔除该异常数据，不能拿来求平均。

例题：误差分类判断

题目：

某电压表零点偏高，每次读数都偏大，这属于什么误差？

答案：

系统误差。

原因：误差方向固定，具有规律性。

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四、等精度重复测量

重复测量大题很可能这样考：

给一组测量数据
求平均值
求残差
求标准差
判断粗大误差
写最终测量结果

PPT 例题如下：

1. 算术平均值

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

平均值是多次测量结果的最佳估计值。

2. 残差

$$v_i=x_i-\bar{x}$$

残差反映第 $i$ 次测量相对平均值的偏离程度。

残差有一个重要性质：

$$\sum_{i=1}^{n}v_i=0$$

这可以用来检查计算有没有错。

3. 标准差

单次测量标准差：

$$s=\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n-1}}$$

平均值标准差：

$$s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

4. 粗大误差判断

常见准则有：

3σ准则
格拉布斯准则

如果题目没有给表，一般考基础判断：

$$|v_i|>3s$$

则可认为该测量值含粗大误差。

例题：重复测量结果表达

题目：

某量重复测量 n 次，平均值为 20.15mm，平均值标准差为 0.03mm，取置信系数 k=2，写出测量结果。

扩展不确定度：

$$U=ks_{\bar{x}}=2\times0.03=0.06mm$$

测量结果：

$$x=(20.15\pm0.06)mm$$

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五、置信区间

PPT 中置信区间例题图如下：

当测量次数较少，且标准差由样本估计时，常用 $t$ 分布：

$$\bar{x}\pm t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{x}$：平均值；
• $s$：单次测量标准差；
• $n$：测量次数；
• $t_{\alpha}$：由置信概率和自由度查表得到。

考试中若给出 $t$ 值，只需要代公式。

例题：置信区间计算

题目：

某量测量 10 次，平均值为 50.00，标准差 s=0.20。置信概率对应 t=2.26，求平均值置信区间。

计算：

$$\Delta=t\frac{s}{\sqrt{n}} =2.26\times\frac{0.20}{\sqrt{10}} \approx0.143$$

答案：

$$x=50.00\pm0.14$$

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六、系统误差削弱方法

PPT 前序补漏中强调过有效数字、系统误差和误差传递：

常见方法：

方法	含义	适用场景
交换法	调换被测对象或测量位置	消除位置、臂长、接触等固定误差
替代法	用标准量替代被测量	比较测量
差动法	两个相反变化信号相减	提高灵敏度、抑制共模误差
补偿法	引入反向误差抵消原误差	温度补偿、零点补偿
对称观测法	前后对称观测取平均	消除线性变化的系统误差

例题：方法选择

题目：

为了消除温度变化对电阻应变片测量的影响，常在桥路中接入温度补偿片。这属于什么方法？

答案：

补偿法。

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七、本章背诵版

绝对误差等于测量值减真值，相对误差等于绝对误差除以真值，引用误差等于最大绝对误差除以满量程。仪表准确度等级表示允许引用误差的百分数，等级数字越小，准确度越高。

误差按性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差。系统误差具有确定规律，可通过修正、补偿、校准等方法削弱；随机误差服从统计规律，可通过多次测量取平均减小影响；粗大误差通常由操作或记录错误引起，应剔除。

等精度重复测量中，先求平均值，再求残差和标准差。单次测量标准差为 sqrt(Σv_i^2/(n-1))，平均值标准差为 s/sqrt(n)。置信区间常写为 x̄±t·s/sqrt(n)。