2024—2025 学年第二学期《计算机组成与系统结构》B 卷答案与解析

说明：本答案按照课程 PPT、目录中的练习题库以及试卷给出的符号约定整理。数学表达式统一使用 LaTeX。
变形补码使用双符号位；整数的符号位和数值位之间用逗号分隔。

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一、分析计算题（40 分）

1. 变形补码加减法

已知：

$$X=-47,\qquad Y=+53$$

数值位为 6 位，因此真值表示范围为：

$$-64\leq x\leq63$$

（1）求 $X$、$Y$、$-Y$ 的变形补码

首先写出绝对值的 6 位二进制形式：

$$47=(101111)_2$$ $$53=(110101)_2$$

正数的变形补码使用双符号位 00：

$$[Y]_{\text{补}}=00,110101$$

求 $-47$ 的补码：

+47：00,101111
取反：11,010000
加 1：11,010001

所以：

$$[X]_{\text{补}}=11,010001$$

同理，求 $-Y=-53$ 的补码：

+53：00,110101
取反：11,001010
加 1：11,001011

所以：

$$[-Y]_{\text{补}}=11,001011$$

答案：

$$\boxed{[X]_{\text{补}}=11,010001}$$ $$\boxed{[Y]_{\text{补}}=00,110101}$$ $$\boxed{[-Y]_{\text{补}}=11,001011}$$

（2）用变形补码计算 $X+Y$

$$\begin{aligned} [X]_{\text{补}}+[Y]_{\text{补}} &=11,010001+00,110101\\ &=00,000110 \end{aligned}$$

双符号位为 00，没有溢出，结果为正数：

$$X+Y=(000110)_2=6$$

答案：

$$\boxed{X+Y=00,000110=(+6)_{10}}$$

（3）用变形补码计算 $X-Y$

减法转换为补码加法：

$$X-Y=X+(-Y)$$ $$\begin{aligned} [X]_{\text{补}}+[-Y]_{\text{补}} &=11,010001+11,001011\\ &=10,011100 \end{aligned}$$

双符号位为 10，表示发生负溢出，也叫下溢。

从真值验证：

$$-47-53=-100$$

$-100$ 超出了 6 位数值位可表示的范围 $[-64,63]$。

答案：

$$\boxed{[X-Y]_{\text{补}}=10,011100}$$ $$\boxed{X-Y\text{ 发生下溢（负溢）}}$$

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2. 浮点数加法

已知：

$$X=+17.5,\qquad Y=-9$$

要求：

• 阶码 5 位，其中含双符号位；
• 尾数 8 位，其中含双符号位；
• 阶码和尾数均采用补码；
• 尾数数值位保持 6 位；
• 舍入采用截去法。

第一步：将两个数规格化

$$17.5=(10001.1)_2$$

所以：

$$X=+0.100011\times2^{101}$$

即：

$$X=+0.100011\times2^5$$

同理：

$$9=(1001)_2$$

所以：

$$Y=-0.100100\times2^{100}$$

即：

$$Y=-0.100100\times2^4$$

第二步：写出浮点补码

$X$ 的阶码为 $+5$：

$$[E_X]_{\text{补}}=00101$$

$X$ 的尾数为正：

$$[M_X]_{\text{补}}=00.100011$$

所以：

$$[X]_{\text{浮}}=00101,\ 00.100011$$

$Y$ 的阶码为 $+4$：

$$[E_Y]_{\text{补}}=00100$$

$Y=-0.100100$，其尾数补码为：

$$[M_Y]_{\text{补}}=11.011100$$

所以：

$$[Y]_{\text{浮}}=00100,\ 11.011100$$

第三步：对阶

$$\Delta E=E_X-E_Y=5-4=1$$

$Y$ 的阶码较小，因此将 $Y$ 的尾数算术右移一位，阶码加 1：

$$11.011100\longrightarrow11.101110(0)$$

对阶后：

$$[Y]_{\text{浮}}=00101,\ 11.101110(0)$$

括号中的 0 是移出的保护位。

第四步：尾数相加

$$\begin{aligned} 00.100011\\ +\ 11.101110(0)\\ \hline 00.010001(0) \end{aligned}$$

因此：

$$[X+Y]_{\text{浮}}=00101,\ 00.010001(0)$$

第五步：规格化

尾数 00.010001 不是规格化正数，需要左移一位，同时阶码减 1：

$$00.010001(0)\longrightarrow00.100010$$ $$00101\longrightarrow00100$$

所以：

$$[X+Y]_{\text{浮}}=00100,\ 00.100010$$

第六步：舍入和溢出判断

采用截去法，直接舍去超出 6 位数值位的部分：

$$[X+Y]_{\text{浮}}=00100,\ 00.100010$$

阶码没有溢出。

还原真值：

$$X+Y=+0.100010\times2^4$$ $$=+(1000.10)_2$$ $$=8.5$$

最终答案：

$$\boxed{[X+Y]_{\text{浮}}=00100,\ 00.100010}$$ $$\boxed{X+Y=(1000.1)_2=8.5}$$

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3. 顺序存储器与交叉存储器带宽

已知：

$$T=400ns,\qquad \tau=50ns$$

每字 64 位，连续读取 16 个字。

第一步：计算信息总量

$$q=16\times64=1024bit$$

第二步：顺序存储器

顺序存储器每读一个字都需要一个完整存储周期：

$$t_{\text{顺}}=nT$$ $$t_{\text{顺}}=16\times400=6400ns$$

带宽：

$$W_{\text{顺}}=\frac{q}{t_{\text{顺}}}$$ $$W_{\text{顺}} =\frac{1024bit}{6400ns} =160Mbit/s$$

第三步：交叉存储器

交叉存储器读出第一个字需要一个存储周期，后续各字按照总线传送周期连续输出：

$$t_{\text{交}}=T+(n-1)\tau$$ $$t_{\text{交}} =400+15\times50 =1150ns$$

带宽：

$$W_{\text{交}} =\frac{1024bit}{1150ns} \approx890.4Mbit/s$$

答案：

存储器组织方式	读取时间	带宽
顺序存储器	$6400ns$	$160Mbit/s$
交叉存储器	$1150ns$	$890.4Mbit/s$

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4. Cache 地址划分与命中率

已知：

• 计算机字长为 32 位，即每字 $4B$；
• 主存容量为 $4MB$；
• Cache 数据存储体容量为 $8KB$；
• 块长为 16 个字；
• 采用直接相联映射；
• 主存按字节编址。

（1）主存地址划分

主存容量：

$$4MB=2^{22}B$$

所以主存地址长度为 22 位。

每块包含 16 个字：

$$16\times4B=64B=2^6B$$

因此块内偏移字段为 6 位，也可以进一步拆分为：

块内字偏移：4 位
字内字节偏移：2 位

Cache 行数：

$$\frac{8KB}{64B} =\frac{2^{13}}{2^6} =2^7 =128$$

所以行索引字段为 7 位。

标记字段：

$$22-7-6=9$$

主存地址划分为：

┌─────────┬───────────┬──────────────┐
│ Tag 9位 │ 行索引 7位 │ 块内偏移 6位 │
└─────────┴───────────┴──────────────┘

若把块内偏移继续拆开：

┌─────────┬───────────┬────────────┬──────────────┐
│ Tag 9位 │ 行索引 7位 │ 字偏移 4位 │ 字节偏移 2位 │
└─────────┴───────────┴────────────┴──────────────┘

（2）Cache 命中率

CPU 每轮访问 0～199 号单元，共 200 个字。

每块有 16 个字，所以涉及的主存块数为：

$$\left\lceil\frac{200}{16}\right\rceil=13$$

Cache 有 128 行，且这 13 个连续块映射到不同 Cache 行，不会发生冲突替换。

第一轮：

• 每个块第一次访问不命中，共 13 次不命中；
• 其余访问命中。

第一轮命中次数：

$$200-13=187$$

之后重复 4 轮，所需数据块都仍在 Cache 中：

$$4\times200=800$$

总访问次数：

$$5\times200=1000$$

总命中次数：

$$187+800=987$$

命中率：

$$h=\frac{987}{1000}=0.987=98.7\%$$

答案：

$$\boxed{h=98.7\%}$$

（3）平均访问时间

按照课程题库采用的平均访问时间公式：

$$t_a=ht_c+(1-h)t_m$$

代入：

$$t_a =0.987\times10 +0.013\times50$$ $$t_a=9.87+0.65=10.52ns$$

答案：

$$\boxed{t_a=10.52ns}$$

补充：若某教材把“不命中”定义为先访问 Cache，再访问主存，则会写成
$t_a=t_c+(1-h)t_m=10.65ns$。本课程此前题库采用前一种加权公式，因此本卷建议答 $10.52ns$。

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二、分析设计题（30 分）

1. 扩展操作码设计

机器字长为 16 位，各类指令格式为：

二地址：OP 4位  + A1 6位 + A2 6位
一地址：OP 10位 + A 6位
零地址：OP 16位

已知：

• 二地址指令 14 条；
• 一地址指令 125 条。

（1）零地址指令最多有多少条

4 位操作码共有：

$$2^4=16$$

种编码。

二地址指令使用 14 种，还剩：

$$16-14=2$$

个 4 位前缀可扩展为一地址指令。

每个前缀再扩展 6 位，可以表示：

$$2^6=64$$

条一地址指令。

所以一地址指令区域最多有：

$$2\times64=128$$

个 10 位操作码。

已使用 125 个，还剩：

$$128-125=3$$

个 10 位前缀可继续扩展为零地址指令。

每个前缀还能扩展 6 位：

$$N_0=3\times2^6=192$$

答案：

$$\boxed{零地址指令最多有192条}$$

（2）整个指令系统最多有多少条指令

$$N=14+125+192=331$$

答案：

$$\boxed{整个指令系统最多有331条指令}$$

（3）若一地址指令要求设计 247 条，二地址指令最多有多少条

每保留一个 4 位扩展前缀，最多可形成 64 条一地址指令。

247 条一地址指令至少需要：

$$\left\lceil\frac{247}{64}\right\rceil=4$$

个扩展前缀。

因此二地址指令最多有：

$$2^4-4=16-4=12$$

答案：

$$\boxed{二地址指令最多有12条}$$

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2. 单总线 CPU 中的 lw 指令

已知：

lw rt, imm(rs)

功能为：

$$R[rt]\leftarrow M[R[rs]+\operatorname{SignExt}(imm)]$$

题目表格中取指周期已经给出，需要补充计算周期和执行周期。

计算周期

T5

操作：

$$R[rs]\rightarrow X$$

控制信号：

Rout，Xin

因为 Rs/Rt=0 时选择 rs，而表格只列高电平信号，所以不用列出 Rs/Rt。

T6

操作：

$$\operatorname{SignExt}(IR(I))+X\rightarrow Z$$

控制信号：

IR(I)out，ADD

执行周期

T7

操作：

$$Z\rightarrow AR$$

控制信号：

Zout，ARin

T8

题目已经给出：

$$M[AR]\rightarrow DR$$

控制信号：

Read，DREin

T9

操作：

$$DR\rightarrow R[rt]$$

控制信号：

DRout，Rin

由于 RegDst=0 时选择 rt，而题目只要求列高电平信号，因此不列 RegDst。

表格填空答案

空号	答案
①	$R[rs]\rightarrow X$
②	IR(I)out，ADD
③	$Z\rightarrow AR$
④	$DR\rightarrow R[rt]$
⑤	DRout，Rin

完整流程：

计算周期：
T5  R[rs] → X
T6  SignExt(imm) + X → Z

执行周期：
T7  Z → AR
T8  M[AR] → DR
T9  DR → R[rt]

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3. 微指令格式分析

微指令字长为 32 位，各字段如下：

字段	位号	位数	编码方式
W 组	31～27	5	编码表示
X 组	26～24	3	编码表示
Y 组	23～20	4	编码表示
Z 组	19～12	8	直接表示
判别测试字段	11～7	5	题设可改为编码表示
下址字段	6～0	7	直接给出后继微地址

（1）控制存储器的最大容量

下址字段为 7 位，最多可寻址：

$$2^7=128$$

个微地址单元。

每条微指令为 32 位，所以控制存储器最大容量为：

$$128\times32=4096bit$$

也可以写成：

$$4096bit=512B$$

答案：

$$\boxed{4096bit}$$

（2）判别测试条件最多有多少个

判别测试字段为 5 位，采用编码表示时共有：

$$2^5=32$$

种编码。

编码字段通常需要保留一种编码表示“不进行判别测试”，所以最多可表示：

$$2^5-1=31$$

个判别测试条件。

答案：

$$\boxed{31个}$$

（3）最多可以设计多少条微指令

微指令条数由下址字段的寻址范围决定：

$$2^7=128$$

答案：

$$\boxed{128条}$$

（4）一条微指令中最多同时出现多少个有效微命令

W、X、Y 三个字段采用编码表示，每个字段同一时刻最多发出一个微命令：

$$1+1+1=3$$

Z 组采用直接表示，8 位可以同时发出 8 个微命令。

因此：

$$3+8=11$$

答案：

$$\boxed{11个}$$

（5）该格式最多可表示多少种微命令

编码表示字段需要各保留一种“不发命令”的编码。

W 组：

$$2^5-1=31$$

X 组：

$$2^3-1=7$$

Y 组：

$$2^4-1=15$$

Z 组直接表示：

$$8$$

总数：

$$31+7+15+8=61$$

答案：

$$\boxed{61种微命令}$$

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三、综合应用题（30 分）

1. 非线性流水线调度

根据预约表：

时间： 1  2  3  4  5  6
S1：   √     √        √
S2：      √     √
S3：               √

（1）禁止表和初始冲突向量

对 $S_1$：

$$3-1=2$$ $$6-3=3$$ $$6-1=5$$

所以 $S_1$ 产生禁止延迟：

$$\{2,3,5\}$$

对 $S_2$：

$$4-2=2$$

产生禁止延迟：

$$\{2\}$$

$S_3$ 只使用一次，不产生禁止延迟。

合并后：

$$\boxed{F=\{2,3,5\}}$$

令冲突向量按照：

$$C=(c_5c_4c_3c_2c_1)$$

排列，其中 $c_i=1$ 表示延迟 $i$ 禁止。

因此：

$$\boxed{C_0=(10110)}$$

（2）最小启动循环和最小平均间隔

从初始状态 10110 出发：

• 延迟 1 允许；
• 延迟 4 允许；
• 延迟不小于 6 时也允许。

选择延迟 1：

$$C_1=(10110>>1)\lor10110$$ $$C_1=01011\lor10110=11111$$

状态 11111 的延迟 1～5 都被禁止，只能选择不小于 6 的延迟。

选择延迟 6 后回到初始状态：

10110 --1--> 11111 --6--> 10110

所以最小启动循环为：

$$\boxed{(1,6)}$$

最小平均启动间隔：

$$\bar d_{\min} =\frac{1+6}{2} =3.5$$

答案：

$$\boxed{\bar d_{\min}=3.5\text{ 个时钟周期}}$$

（3）状态转换图

可达状态包括：

A = 10110
B = 11111
C = 10111

状态转移关系：

A --1--> B
A --4--> C
A --6及以上--> A

B --6及以上--> A

C --4--> C
C --6及以上--> A

状态图：

stateDiagram-v2
    A: 10110
    B: 11111
    C: 10111

    A --> B: 1
    B --> A: 6及以上
    A --> C: 4
    C --> C: 4
    C --> A: 6及以上
    A --> A: 6及以上

其中平均间隔最小的闭合回路为：

$$A\xrightarrow{1}B\xrightarrow{6}A$$

平均间隔为 $3.5$。

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2. 串行计算机和 SIMD 单向环计算点积

计算：

$$S=A_1B_1+A_2B_2+\cdots+A_{64}B_{64}$$

已知：

• 一次乘法需要 4 个单位时间；
• 一次加法需要 2 个单位时间；
• 相邻 PE 传送一次数据需要 1 个单位时间。

（1）串行计算机

64 项点积需要：

• 64 次乘法；
• 63 次加法。

由于加法器和乘法器同一时刻只能使用其中一个，所以：

$$T_{\text{串}} =64\times4+63\times2$$ $$T_{\text{串}} =256+126 =382$$

答案：

$$\boxed{T_{\text{串}}=382\text{ 个单位时间}}$$

（2）16 个 PE 的 SIMD 单向环

共有 64 项，平均分配给 16 个 PE：

$$\frac{64}{16}=4$$

每个 PE 先完成本地 4 项点积。

本地乘法

每个 PE 执行 4 次乘法：

$$4\times4=16$$

个单位时间。

本地累加

4 个乘积相加需要 3 次加法：

$$3\times2=6$$

个单位时间。

本地计算总时间：

$$16+6=22$$

16 个部分和归约

因为：

$$16=2^4$$

需要 4 级加法归约：

$$4\times2=8$$

个单位时间。

在单向环上，关键路径的数据传送距离依次为：

$$1,\ 2,\ 4,\ 8$$

因此数据传送时间为：

$$1+2+4+8=15$$

个单位时间。

总时间：

$$T_{\text{SIMD}} =22+8+15 =45$$

答案：

$$\boxed{T_{\text{SIMD}}=45\text{ 个单位时间}}$$

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3. BSP 与理想 PRAM 计算点积

在 8 个处理器上计算：

$$S=\sum_{i=1}^{200}A_iB_i$$

已知：

$$N=8,\quad m=200$$ $$t_{\text{multi}}=80ns,\quad t_{\text{add}}=40ns$$ $$h=1,\quad g=200ns,\quad l=400ns$$

串行执行时间

按课程公式，串行基准时间取：

$$T_1=m(t_{\text{multi}}+t_{\text{add}})$$ $$T_1=200(80+40)=24000ns$$

（1）BSP 计算机

BSP 时间公式：

$$T_{\text{BSP}} = \frac{m}{N} (t_{\text{multi}}+t_{\text{add}}) + \log_2N (gh+l+t_{\text{add}})$$

局部计算时间：

$$\frac{200}{8}(80+40) =25\times120 =3000ns$$

归约、通信和同步时间：

$$\log_28(200\times1+400+40)$$ $$=3\times640 =1920ns$$

所以：

$$T_{\text{BSP}} =3000+1920 =4920ns$$

加速比：

$$S_p =\frac{T_1}{T_{\text{BSP}}} =\frac{24000}{4920} \approx4.88$$

答案：

$$\boxed{T_{\text{BSP}}=4920ns}$$ $$\boxed{S_{p,\text{BSP}}\approx4.88}$$

（2）理想 PRAM 计算机

PRAM 时间公式：

$$T_{\text{PRAM}} = \frac{m}{N} (t_{\text{multi}}+t_{\text{add}}) + \log_2N\cdot t_{\text{add}}$$

代入：

$$T_{\text{PRAM}} =3000+3\times40$$ $$T_{\text{PRAM}} =3120ns$$

加速比：

$$S_p =\frac{T_1}{T_{\text{PRAM}}} =\frac{24000}{3120} \approx7.69$$

答案：

$$\boxed{T_{\text{PRAM}}=3120ns}$$ $$\boxed{S_{p,\text{PRAM}}\approx7.69}$$

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四、答案速查

第一大题

题号	答案
1（1）	$[X]_{\text{补}}=11,010001$；$[Y]_{\text{补}}=00,110101$；$[-Y]_{\text{补}}=11,001011$
1（2）	$00,000110$，真值 $+6$，无溢出
1（3）	$10,011100$，下溢（负溢）
2	$[X+Y]_{\text{浮}}=00100,\ 00.100010$，真值 $(1000.1)_2=8.5$
3	顺序：$160Mbit/s$；交叉：$890.4Mbit/s$
4（1）	Tag 9 位，行索引 7 位，块内偏移 6 位
4（2）	$98.7\%$
4（3）	$10.52ns$

第二大题

题号	答案
1（1）	192 条
1（2）	331 条
1（3）	12 条
2	① $R[rs]\to X$；② IR(I)out、ADD；③ $Z\to AR$；④ $DR\to R[rt]$；⑤ DRout、Rin
3（1）	$4096bit$
3（2）	31 个
3（3）	128 条
3（4）	11 个
3（5）	61 种

第三大题

题号	答案
1（1）	$F=\{2,3,5\}$，$C_0=10110$
1（2）	最小循环 $(1,6)$，最小平均间隔 $3.5$ 个时钟周期
2（1）	382 个单位时间
2（2）	45 个单位时间
3（1）	$T_{\text{BSP}}=4920ns$，$S_p\approx4.88$
3（2）	$T_{\text{PRAM}}=3120ns$，$S_p\approx7.69$