二维的各种分布

二维的随机变量

专家会把 $(X,Y)$ 称为一个二维随机变量， $F(x,y)=P\{ X \leq x,Y\leq y \}$ 是它的分布函数，也就是 $(x,y)$ 这个点左下角的面积对应的概率，显然 $0 \leq F(x,y)\leq 1$ ，它是一个不减函数

对于任意的 $x,y$ ， $F(-\infty,-\infty)=0,F(-\infty,y)=0,F(x,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1$

$F(x,y)$ 分别对 $x$ 和 $y$ 都是右连续的

离散的谁都会算，列个表就行了

显然 $f(x,y)\geq 0,-\infty < x,y < +\infty$ ， $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)du)dv=1$

如果 $f(x,y)$ 在对应点上连续，那显然

\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)

当然还有

P\{ (X,Y) \in G \}=\iint\limits_{G}f(x,y)dxdy

二维当然也有均匀分布，如果 $G$ 是平面上的一块区域，面积为 $A$ ，那 $(X,Y)$ 在 $G$ 里面二维均匀分布就是

f(x,y)=\left\{ \begin{align} &\frac{1}{A},&&(x,y)\in G \\ &0,&&其他 \end{align} \right.

同理三维的是

f(x,y,z)=\left\{ \begin{align} &\frac{1}{A},&&(x,y,z)\in G \\ &0,&&其他 \end{align} \right.

不过是 $G$ 换成了一块三维区域， $A$ 换成了体积而已

好长

f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left [\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]}

太可怕了家人们，这就是二维正态分布， $\sigma_1>0,\sigma_2>0,-1<\rho<1$ ，记作 $(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$

其实就是把一个二维的分布中的两个随机变量分别单独拿出来变成两个一维的随机变量

$(X,Y)$ 的两个边缘分布函数分别是 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$

离散型随机变量的边缘分布也是个个都会，也是列表就行了

$(X,Y)$ 的两个边缘密度函数分别是 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$

由于 $\displaystyle F_X(x)=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^x\left( \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \right)dx$

于是可以得到

\begin{aligned} &f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\ &f_Y(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx \end{aligned}

一般情况下，积分的上下界由积变量的定义域决定

和条件概率一模一样了

离散型的是这样的：

\begin{aligned} & P\{ X=x_i~|~Y=y_j \}=\frac{P\{ X=x_i,Y=y_j \}}{P\{ Y=y_j \}} ,&&i=1,2,\cdots\\ & P\{ Y=y_j~|~X=x_i \}=\frac{P\{ X=x_i,Y=y_j \}}{P\{ X=x_i \}} ,&&j=1,2,\cdots \end{aligned}

当然， $P\{ X=x_i \}$ 和 $P\{ Y=y_j \}$ 都要大于零

连续型的也很简单

\begin{aligned} &f_{X|Y}(x~|~y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \\ &f_{Y|X}(y~|~x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} \end{aligned}

还有

\begin{aligned} &F_{X|Y}(x~|~y)=\int_{-\infty}^x \frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du \\ &F_{Y|X}(y~|~x)=\int_{-\infty}^y \frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv \end{aligned}

懒得写怎么来的了，反正那是数学系学的东西

我们都知道什么是独立性，用专家喜欢的说法就是

\begin{aligned} P\{ X \leq x,Y \leq y \}&=P\{ X \leq x \}P\{ Y \leq y \} \\ F(x,y)&=F_X(x)F_Y(y)\\ f(x,y)&=f_X(x)f_Y(y) \end{aligned}