各种分布

至少符号不能忘

离散型的分布

两点分布

没啥专门的符号，就是一个变量 $X$ 只能取 $0$ 和 $1$ 两个值，概率为 $p$

二项分布

就是多个两点分布，对随机变量 $X$ 有

$$P\{ X = k \} = C_n^kp^k(1-p)^{n-k},~ 0<p<1,k=0,1,2,\cdots,n$$

显然

$$\sum_{k=0}^nP\{ X=k \} = \sum_{k=0}^n C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=[p+(1-p)]^n=1$$

记作 $X\sim b(n,p)$

泊松分布

泊松分布（Poisson distribution） 其实是对 $n$ 很大且 $p$ 或 $1-p$ 很小的二项分布的简化，式子中的 $\lambda = np_n$ ，当然很多时候 $p_n$ 其实就是 $p$

由泊松定理 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} C_n^k p_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ 可以得到泊松分布 $X\sim P(\lambda)$ 有

$$P\{ X = k \} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},~k=0,1,2,\cdots$$

连续型的分布

均匀分布

如果 $X$ 的概率密度函数是这样的：

$$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{b-a},&&a<x<b,\\ &0,&&其他 \end{aligned} \right.$$

那这个 $X$ 就在 $(a,b)$ 上服从均匀分布（Uniform distribution），记作 $X\sim U(a,b)$

很容易知道 $f(x)\geq 0$，以及

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_a^b\frac{1}{b-a}dx = 1$$

还有

$$F(x)=\left\{ \begin{aligned} &0,&&x<a,\\ &\frac{x-a}{b-a},&&a\leq x < b, \\ &1,&&x \geq b. \end{aligned} \right.$$

对于 $a\leq c<d\leq b$ 显然有

$$P\{c<X<d\}=F(d)-F(c)=\frac{d-c}{b-a}$$

指数分布

指数分布（Exponential distribution） 指的是如果一个 $X$ 的概率密度函数是

$$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x} ,&&x>0, \\ &0,&&x\leq0. \end{aligned} \right.$$

里面的 $\lambda$ 是大于零的常数的分布，记作 $X\sim E(\lambda)$

很容易知道

$$F(x)=\left\{ \begin{aligned} &1-e^{-\lambda x},&&x>0,\\ &0,&&x\leq 0 \end{aligned} \right.$$

对于任意 $a>0$，有 $P\{X>a\}=e^{-\lambda a}$，证明如下：

$$P\{X>a\} = 1-P\{X\leq a\} = 1-(1-e^{-\lambda a})=e^{-\lambda a}$$

专家把指数分布的下面这个性质称为“无记忆性”：对任意的 $s,t>0$ 有

$$P\{ X>s+t~|~X > s \}=P\{ X>t \}$$

证明如下：

$$\begin{aligned} P\{ X>s+t~|~X > s \}&=\frac{P\{ (X>s)\cap(X>s+t) \}}{P\{ X>s \}} \\ &=\frac{P\{ X>s+t \}}{P\{ X>s \}} \\ &=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} \\ &=e^{-\lambda t} = P\{ X>t \} \end{aligned}$$

非常简单喵

正太正态分布

正态分布（Normal distribution） 是高中生个个都知道的东西，也就是一个 $X$ 符合

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\infty$$

记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$， $\mu$ 是函数图像的中轴线，那里有最大值；而 $\sigma$ 决定最大值的大小，显然 $\sigma$ 越小，最大值越大，又因为 $f(x)$ 的整个积分为 $1$，于是就越陡

于是专家把 $\mu$ 叫做位置参数，$\sigma$ 叫做精度参数

由正态分布可以得到一个结论：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{A}}dx=\sqrt{A\pi}$$

当然要 $A>0$，对 $X\sim N(0,\frac{A}{2})$ 积一下就能得到这个结论

两个独立的正态分布 $X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 相加有 $X_1+X_2 \sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

最标准的正太

专家认为 $X\sim N(0,1)$ 是标准得不能再标准的正太了，非常喜欢，于是就把这个分布叫做标准正态分布，它的 $f(x)$ 和 $F(x)$ 被叫做 $\phi(x)$ 和 $\Phi(x)$

$$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

专家还发现 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$

专家又发现：所有的正太都可以用某种方法变成这种最标准的正太，写出来大概是这样的：如果 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，那 $\displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，这样变标准之后，我们就可以查表看这些正太正态分布的值了

标准化之后，如果我们要求 $P\{ a<x\leq b \}$ 的值，这个值就相当于 $X\sim N(0,1)$ 的 $\displaystyle P\{ \frac{a-\mu}{\sigma} < \frac{x-\mu}{\sigma} \leq \frac{b-\mu}{\sigma} \}$

在标准的正态分布里面，如果有个点 $z_{\alpha}$ 满足 $P\{ X>z_{\alpha} \} = \alpha$ ，然后 $0 < \alpha < 1$， 那 $z_{\alpha}$ 就是上 $\alpha$ 分位点，也是可以查表的

还有一件事 $-z_{\alpha}=z_{1-\alpha}$