集中在一起就是集合

集合！

上过高中的个个都知道什么是集合（set） 也都知道集合里面的东西叫做它的元素（elements） 或者成员（members） 。集合里面每个元素都是独一无二的，而一个集合的元素数量就叫做它的基数（cardinality） $A$的基数写作 $|A|$ 或 $card(A)$

个个都会的表示

枚举

顾名思义就是把全部元素写出来，比如

$$A = \{ 1,2,3,4,5 \}$$

描述

也就是用自然语言或者数学表达式描述集合中的元素，比如

$$\begin{aligned} &A = \{ x|x是1到5的整数 \} \\ &A = \{ x|1 ≤ x ≤ 5 , x \in \mathbb{Z} \} \end{aligned}$$

图像

就是画图，我懒得画了，这个谁都会

个个都能理解的特别的集合

高中都会的

$\mathbb{N}$ 是自然数集， $\mathbb{Z}$ 是整数集， $\mathbb{Q}$ 是有理数集， $\mathbb{R}$ 是实数集， $\varnothing$ 是空集， $U$ 是全集

$A\subseteq B$ 说明 $A$ 是 $B$ 的子集， $A\subset B$ 说明 $A$ 是 $B$ 的真子集（这和高中不一样），反过来那关系也要反过来

需要注意的是， $\varnothing \not = \{ \varnothing \}$

集合也有幂

有某个集合 $A$ ，它的全部元素组合成的可能的子集的集合就叫它的幂集（power set） ，记作 $\mathcal{P}(A)$ 或者 $2^A$ ，但由于某些原因（不好输入）， $\mathcal{P}(A)$ 也常被专家写作 $P(A)$

比如说有个集合 $A= \{ a, b \}$ ，那它的幂集就是

$$\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing, \{ a\}, \{ b\}, \{ a, b\} \}$$

补充的集合

补集（complement set） 高中也学过，不过写法更好写了，记作$\sim A$或$\bar{A}$

个个都很简单的集合算术

高中的

$A \cup B$ 是 $A$ 并 $B$ ， $A \cap B$ 是 $A$ 交 $B$ ， $A - B$ 是 $A$ 减掉 $B$ 里面所有元素

对称差

$A \oplus B$ 表示 $A$ 和 $B$ 进行对称差运算，得到的集合是只有 $A$ 有或者是只有 $B$ 有的，如果让 $A = \{ 1, 2, 3\}$，$B = \{ 2, 3, 4\}$ ，那

$$A \oplus B = \{ 1, 4\}$$

某些运算性质

其实没啥可讲的，只有德·摩根律可能要记一下

$$\begin{aligned} &\sim (A \cup B) = \sim A ~\cap \sim B \\ &\sim(A \cap B) = \sim A ~\cup \sim B \\ &A-(B \cup C) = (A-B) \cap(A-C) \\ &A-(B \cap C) = (A-B) \cup(A-C) \end{aligned}$$

容斥原理

如果愿意画图的话，很容易发现对于任意集合有

$$|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B|$$

如果集合不止两个，那公式可能略显复杂

对$n$个集合有

$$\begin{align} &~~~~~|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots \cup A_n| \\ &=\sum_{i=1}^n |A_i| - \sum_{1≤i<j≤n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1≤i<j<k≤n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + \\ &~~~~~(-1)^{n+1}|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots \cup A_n| \end{align}$$

好长……

但是集合就这么多耶