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二次型

啥是二次型

Section titled “啥是二次型”
f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3(1)f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} \tag{1}

这样一个式子就是一个二次型，更严谨点叫三元二次型

它对应的矩阵是

[110111011]\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]

再比如

f(x1,x2,x3)=5x12+4x22+2x32+4x1x2+2x1x3f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 5x_{1}^2 + 4x_{2}^2 + 2x_{3}^2 + 4x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3}

它对应的矩阵是

[521240102]\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right]

很容易发现，一个有 nn 个变量的二次型对应的矩阵就是一个 n×nn×n 的对称矩阵，主对角线上面的数对应平方项的系数，其他位置，比如 (1,2)(1,2) 和 (2,1)(2,1) 对应 x1x2x_{1}x_{2} 系数的一半

如果把 (1)(1) 式中的量提出来进行一点变化，比如让

[x1x2x3],A=[110111011]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]

AA就是对应的那个矩阵，则专家把下面的(2)(2)式称为(1)(1)式的矩阵表达式

f=f(x)=xTAx(2)f=f(x)=x^TAx \tag2

其实就是

f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3=[x1x2x3][110111011][x1x2x3]f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3}=\begin{bmatrix} x_1 &x_2 &x_3 \end{bmatrix} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}

AA的秩同时也是ff的秩

啥是标准形

Section titled “啥是标准形”

标准形是只有平方项的二次型，比如

f(y)=y12+2y22+3y32f(y) = y_1^2 + 2y_2^2 + 3y_3^2

非常的简单，可是这两个xing怎么还不一样

怎么变成标准形

Section titled “怎么变成标准形”

专家表示，任何一个二次型 f=xTAxf=x^TAx 都能化成一个标准形，只需要进行一个 x=Qyx=Qy 的正交变换，就可以把 (1)(1) 变成 f=λ1y12+λ2y22+λ3y32f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2 了，这里的 λ\lambda 都是矩阵的特征向量对应的特征值

[!TIP] 对于实对称矩阵，不同特征值算出来的特征向量是**正交**的

算完特征向量之后，把不正交的给正交化（就是同一个λ\lambda算出来的）

正交化单位完之后得到三个向量 (q1,q2,q3)(q_1,q_2,q_3) ，这 (q1,q2,q3)(q_1,q_2,q_3) 就是所求的QQ了

于是可喜可贺，便得 f=λ1y12+λ2y22+λ3y32f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2 了

[!IMPORTANT] λ\lambda 必须与 qq 的位置匹配！！！

即 λ1\lambda_1 的值必须与 q1q_1 配对

最后在结尾处洋洋洒洒留下一行：存在正交变换 x=Qyx=Qy ，其 Q=(q1,q2,q3)Q=(q_1,q_2,q_3) 可将二次型化为标准形

还有个方法叫拉格朗日配方法，但是我不记得了，上面的正交变换法又不是不能用

呃好吧，其实有时候拉格朗日配方法还挺方便的，只要你水平够高，能把那些xx全部化为平方项那就是秒杀

比如说

f(x)=x12+x22+2x32+2x1x3f(x)=x_1^2+x_2^2+2x_3^2+2x_1x_3

一眼能发现可以配方成

f(x)=(x1+x3)2+x22+x32f(x)=(x_1+x_3)^2+x_2^2+x_3^2 令{y1=x1+x3y2=x2y3=x3,即{x1=y1−y3x2=y2x3=y3令\left\{ \begin{aligned} &y_1=x_1+x_3 \\ &y_2=x_2 \\ &y_3=x_3 \end{aligned} \right.,即 \left\{ \begin{aligned} &x_1=y_1-y_3 \\ &x_2=y_2 \\ &x_3=y_3 \end{aligned} \right.

不就完成了吗，而对应的矩阵是

y=[101010001]xy=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] x

倒过来就是所求

x=[101010001]−1yx=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]^{-1}y

得到结果，和那个即是一样的欸

[10−1010001]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]

真是中学知识呢，那为什么还有拉格朗日的冠名呢

正定二次型又是啥

Section titled “正定二次型又是啥”

符合某些条件的二次型就叫正定二次型，对应的矩阵叫正定矩阵

相似的还有负定二次型之类的概念……但是考试似乎也不怎么考

如果我有一个这样的矩阵

[52−421−2−4−25]\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{matrix}\right]

然后发现

det⁡[5]=5>0,det⁡[5221]=1>0,det⁡[52−421−2−4−25]=1>0\det \left[ \begin{matrix} 5 \end{matrix}\right]=5>0, \det \left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right]=1>0, \det\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{matrix}\right] = 1 > 0

也就是每个以左上角为顶点的正方形的行列式都大于00，于是这个矩阵，这个二次型就是正定的

那些正方形还有个名字，叫顺序主子式

负定类似，只是条件变成了行列式正负交替