行列式的儿子

怎么那么多

简单的性质就不列了，浪费生命

烦人的概念

话说有这么一个行列式……

$$D = \left | \begin {matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end {matrix} \right |$$

专家要你求第一列所有余子式的和，也就是$A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}$的值

这都是啥……？

余子式就是行列式里某个值去掉同一行与列的所有元素拼成的新行列式，用$M_{ij}$表示

一个例子是

$$M_{11}=\left | \begin {matrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 3 & 2 \end {matrix} \right |$$

而代数余子式就是$M_{ij}$乘上一个$(-1)^{i+j}$，就是拿来区别正负的，用$A_{ij}$表示，$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

[!IMPORTANT] 注意：只有在给行列式降维展开计算其值时才要在$M_{ij}$上面乘上$a_{ij}$，余子式本身是不用做这步的！！！

上面那个行列式由于完全不用乘上$a_{i1}$，所以整个题目就变成了求下面这个行列式的值

$$D_1=\left | \begin {matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end {matrix} \right |$$

然后这个式子按第一行展开正好是$A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}$，然后这个行列式的值很显然是$0$，这就是传说中的替换法，如果求的是$A_{21}+2A_{22}+3A_{23}+4A_{24}$，就把第二行元素换成$1234$算整个行列式的值就好

如果要算代数余子式的和呢？化为余子式再算就好

服了阴险的专家

范德蒙行列式

这个名字来源于元素一样的范德蒙矩阵，但是这不重要，重要的是怎么算

范德蒙行列式就是一个像这样的行列式，第一行（列）的值都是$1$，剩下的行（列）的值按一定比例改变

$$\left | \begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end {matrix} \right |或 \left | \begin {matrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end {matrix} \right |$$

都是一样的，转置嘛

每一列（行）的数据成同一比例改变，对于这种行列式，只需要最简单的加加减减，先把第一列（行）的$x_1$消掉变成（消$1$也是等价的！

$$\left | \begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ 0 & x_2^2-x_1^2 & x_3^2-x_1^2 \end {matrix} \right | = \left | \begin {matrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ x_2^2-x_1^2 & x_3^2-x_1^2 \end {matrix} \right |$$

再提出每列（行）的公因式

$$\left | \begin {matrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ x_2^2-x_1^2 & x_3^2-x_1^2 \end {matrix} \right | = (x_2-x_1)(x_3-x_1)\left | \begin {matrix} 1 & 1 \\ x_2+x_1 & x_3+x_1 \end {matrix} \right | = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$$

结束！（其实把第一步把$1$消掉然后化成上下三角也很快哦

四阶的也是差不多的

拆分

话说这行列式是可以拆分的，遵循如下规律

$$\left | \begin{matrix} a+b & e \\ c+d & f \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a & e \\ c & f \end{matrix} \right | + \left | \begin{matrix} b & e \\ d & f \end{matrix} \right |$$

也就是一行（列）上的所有元素都是两数之和时（即使不一样） 就可以拆成两个行列式

对于三阶四阶行列式也都是一样的