解那些线性方程组

就是长这样的一堆方程组，未知数个数 $n=3$

\left\{ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 &= b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 &= b_3 \end{aligned} \right.

变成几个矩阵

A = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right], x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} , b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}

于是就相当于解 $Ax=b$

如果几个 $b$ 都是 $0$ ，那这个方程组就是齐次的，否则就是非齐次的

算 $A$ 的秩，如果 $R(A) = n$ ，那么这个方程组只有一个解，而且全部 $x$ 的值都是 $0$ ，所以这个解又叫零解（好奇怪的名字

又如果 $R(A) < n$ ，也就是 $R(A) ≠ n$ ，那有至少有一个 $x$ 是无法确定的，情况就会变成有无穷多个解

（因为这时 $A$ 这个线性变换是会降维的，如果是二维到一维，就会有一条线的向量被压缩成零向量，三维到二维则是一个面，很显然这些向量的数量是无数个

还是算 $A$ 的秩，但是还要算 $(A,b)$ 这个增广矩阵的秩，如果 $R(A) =R(A,b) = n$ ，即 $x$ 变换前后维度不变且维度与 $b$ 相等，那此时它就有唯一解

当 $R(A) < R(A,b)$ 时，也就是 $x$ 经过变换 $A$ 之后维数比 $b$ 的小，那就十分遗憾了，这时是无解的，毕竟不在一个维度嘛

还有一种情况是 $R(A) =R(A,b) < n$ 这时虽然发生了降维，但是维数还是够用的，于是啊就会出现跟上面一样的情况：一条线或者一个面的向量被压缩成了目标向量 $b$ ，此时的结果是有无穷多解

对专家而言，算 $R$ 的最佳姿势是把那些矩阵化成行阶梯形，然后看有几个阶梯就是秩为几

对于线性方程组的解，有一些神奇的性质

对一个非齐次的线性方程组 $Ax=b$ ，如果有 $R(A)=R(A,b)=r<n$ （就是未知数比方程多，没有确定的解），那与之对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 就是它的导出线性方程组

如果有一个线性方程组

$x+y=3 \tag1$ 和一个比较一般的线性方程组

$Ax=b\tag2$ 都有两个解 $\eta_1,\eta_2$ ，对 $(1)$ 就让

\eta_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \eta_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}

吧，有一个显然的结论， $\eta_1+\eta_2$ 不是 $Ax=b$ 的解

对 $Ax=b$ 的两个解 $\eta_1,\eta_2$ ， $\eta_1-\eta_2$ 是 $Ax=0$ 的解

对于 $(1)$ 而言， $\eta_1-\eta_2=\begin{bmatrix}1 \\-1 \end{bmatrix}$ ，很显然是 $x+y=0$ 的解

而对于 $(2)$ 这种一般的方程组来说，可以知道

A\eta_1=b,A\eta_2=b

所以根据乘法分配律，得到

A(\eta_1-\eta_2) = A\eta_1 - A\eta_2 = b - b = 0

不是很合理吗

$\xi$ 是 $Ax=0$ 的一个解，让 $\eta_1$ 和 $\xi$ 相加，那得到的结果还是 $Ax=b$ 的解

比如对 $(1)$ ， $\eta_1-\eta_2+\eta_1 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，发现确实还是 $x+y=3 \tag1$ 的解

因为 $A(\xi+\eta_1)=A\xi+A\eta_1=b+0=b$ ，于是得证

专家发现，如果 $\eta^*$ 是 $Ax=0$ 的一个特解，那 $Ax=b$ 的所有解 $x$ 都能用 $\eta^*$ 和上面的 $\xi$ 表示，即 $x=\eta^*+\xi$

说白了，上面两个性质都是对这个特解部分的加加减减，只要不加上特解那部分，得到的结果永远是在 $Ax=0$ 的解的范围内