怎么又是微分方程

在 MATLAB 里面大战微分方程（失败

根据常识，我们知道物体的降温速度受到物体温度 $T(t)$ 和室温 $T_s$ 之差的影响，即

\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)

其中 $k$ 是冷却系数，一个常数

由上面那个式子可以积分再整理就可以得到

T(t) = T_s+Ce^{-kt}

此时题目应该会给一些可以代入的数值，代进去就能求解答案了

在 MATLAB 中，log(x)表示 $\ln x$ ，exp(x)表示 $e^x$

设一次服药量为 $A$ ， $c(t)$ 为血液中药物浓度， $k$ 为浓度衰减系数，那么对于单次服药显然有

\frac{dc}{dt}=-kc

又由于 $c(0)=A$ ，于是

c(t)=Ae^{-kt}

那对于多次服药呢？可以把第 $n$ 次服药后的浓度设为 $C_n$ ，服药间隔为 $T$ ，于是就可以递推得到

\begin{aligned} C_1&=A \\ c(T)&=C_1e^{-kT} \\ C_2&=C_1e^{-kT} + A \\ &\cdots \\ C_{n+1} &= C_ne^{-kT}+A \end{aligned}

展开再展开可以发现

C_n=A(1+e^{-kT}+e^{-2kT}+\cdots+e^{-(n-1)kT})

然后我们发现这就是个等比数列求和，得到

C_n=A\frac{1-e^{-nkT}}{1-e^{-kT}}

显然 $\lim_{n \to \infty}$ 时， $e^{-nkT}\to 0$ ，于是 $\displaystyle C_{\text{max}} = \frac{A}{1-e^{-kT}}$ ， $C_{\text{min}} = C_{\text{max}}e^{-kT}$