常用导数，积分以及等价无穷小

导数

这一串是不太熟的

$$\begin{align} &(\tan x)'=\sec^2x \\ &(\cot x)'=-\csc^2x \\ &(\sec x)'=\sec x\tan x \\ &(\csc x)'=-\csc x\cot x \\ &(a^x)'=a^x\ln a \\ &(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} \\ \\ &(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\\ &(\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2} \end{align}$$

等价无穷小

在特殊情况时，这些可以相互替换……

$$\lim_{x \to 0} x=\ln(1+x)=e^x-1=\arctan x=\sin x=\arcsin x=\tan x$$ $$\lim_{x\to0}1-\cos x=\sec x-1=\frac{1}{2}x^2$$ $$\lim_{x\to0} \sqrt[n]{1+x}-1=(1+x)^{\frac{1}{n}}-1=\frac{1}{n}x$$

泰勒

$$\begin{align} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!} + \cdots +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1} \\ &e \approx 1+1+\frac{1}{2!}\cdots + \frac{1}{n!} \\ &\sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ &\cos x = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4- \cdots \\ &\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots \\ &(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+O(x^n) \\ & \end{align}$$

积分

这些还是要背的，$(1)$的绝对值很重要

$$\begin{align} &\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \tag 1 \\ &\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(x) + C \tag2 \\ &\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C \tag3 \\ &\int \frac{1}{\cos^2x}\,dx = \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C \tag4 \\ &\int \frac{1}{\sin^2x}\,dx = \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C \tag5 \\ &\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C \tag6 \\ &\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x+ C \tag7 \\ \\ \\ &\int \sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x| + C \tag8 \\ &\int \csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x| + C \tag9 \end{align}$$

$(8)$和$(9)$是应该记一下的，唉三角函数