过渡矩阵

过渡矩阵这玩意看着玄乎，其实就是一组基变成另一组基所需的线性变换的矩阵表示

瞪眼法（返璞归真算

一般会给我们两组基，比如

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},a_3=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}; II:b_1= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},b_2=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},b_3=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

求从$I$到$II$的过渡矩阵

我们只需看一眼就能发现$b_1=-2a_1+a_3$啊，也就是

$$b_1=\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

以此类推把它们的结果都竖起来就得到了答案

$$P=\left[\begin{matrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right]$$

对于某个向量在某个基下面的坐标也可以这么算，但是这么算可能没有过程分

专家法（老老实实算

同样是把向量立起来，变成两个矩阵，比如$I$对应$A$，$II$对应$B$，求$P$，有 $AP=B$，所以$P=A^{-1}B$，变出一个$(A,B)$化成$(E,A^{-1}B)$就求出答案了

对于某个向量在某个基下面的坐标，比如$a$，也是变出$(A,a)$化成$(E,A^{-1}a)$就好

本质上都是做线性变换，改变坐标的基