这个矩阵才是你的归宿啊

自古以来，矩阵就有两种括号表示，$(圆括号)$与$[方括号]$，其实用哪种没有严格要求，但先入为主导致我更喜欢用方括号（👻⚡教材用的是圆括号

为什么是“伴随”？

伴随矩阵是一个不得不提的东西，尽管它的作用似乎只有算逆矩阵，但这似乎也是它叫这个名字的原因

矩阵$A$的伴随矩阵记为$A^*$，伴随矩阵的一个性质是$AA^*=A^*A=|A|E$，也就是说这俩矩阵是可交换的，一个比较原始的算逆矩阵的方法就是$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，当然一般不会这么算就是了

当然算$A^*$也是有别的方法的，$A^*$的每个元素都是$A$对应元素的代数余子式，不过这样计算量很大就是了

行列式之于矩阵

仅作公式列举

$\displaystyle|A^{-1}| = \frac{1}{|A|},|A^{T}|=|A|,|kA_{n×n}|=k^n|A|,|A_{n×n}^*|=|A|^{n-1}$

等价、相似与合同

如果我们有两个矩阵$A$和$B$，那这三个概念就分别是

等价：$A$和$B$长宽一样且秩相同；有可逆的$P$和$Q$使$PAQ=B$（定义）

相似：$A$和$B$都是一样大小的方阵，有可逆的$P$使$P^{-1}AP=B$（定义）

合同：$A$和$B$的正惯性指数和负惯性指数一样；有可逆的$P$使$P^TAP=B$（定义）

事实上相似与合同是等价的两种特殊情况，不过只有某些特殊矩阵能同时具有这三个关系

所以等价其实就是两个维数（秩） 一样的线性变换，而合同则是一个二次型在不同基下的表示

相似是一个线性变换在不同基下的表示