你永远也到不了名为极限的真实

永无尽头的逼近

极限嘛，顾名思义就是无限趋近一个值而不相等，数列和函数都可以求极限，但数列的自变量$n$只能是自然数，除此之外两者似乎也没多大差别

数列

对于数列的极限，由于$n$不能是负数，本身也是不连续的，所以只能求到无穷远的极限，即

$$\lim_{n \to \infty}$$

也就是说，当$n$无限趋近于$\infty$时，数列$\{x_n\}$的值会无限趋近于$a$，那$a$就是数列$\{x_n\}$的极限，又叫$\{x_n\}$收敛于$a$

如果数列没有无限趋近于某个值，也就是找不到这个$a$，那这个数列就是发散的，下面有三个栗子：

$$\left\{ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}=0 \\ &\lim_{n \to \infty}2^n = \infty \\ &\lim_{n \to \infty} {-1}^n = ? \end{aligned} \right.$$

分别是收敛于$0$，发散和有界的发散

关于收敛

对于收敛的数列来讲，有一些性质

如果数列$\{x_n\}$收敛于$a(a>0)$，那么它的极限唯一，它一定有界，一定存在一个$N$使$N$后面所有的项都大于$0$（保号性）

这些性质很容易发现，就不说怎么证明了，那都是数学系的事

函数

函数的极限和数列差不多，除了变成了连续的，然后可以取负数（数列不就是特殊的函数嘛）

由于是连续的，所以可以取除了$\infty$以外的地方的极限，比如说

$$\lim_{x \to x_0} f(x)=A 或 f(x)\to A(当x \to x_0)$$

表示当$x$无限趋近于$x_0$时$f(x)$的值无限趋近于$A$，但由于是无限趋近，所以和$x_0$有没有定义一点关系也没有

当然也可以求到$\infty$的极限，这和数列基本是一样的，除了要注意$x \to -\infty$的情况

左右极限

大多数时候，一个点都能从两侧靠近，也就是从左边或者右边。从两边无限接近$x_0$的极限分别称为左极限和右极限，统称为单侧极限

如果一个点的极限存在，那就必须要满足两侧极限存在且相等，即

$$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=A=\lim_{x \to x_0^+}f(x)$$

一个特殊的例子

$\displaystyle \lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}}$这个极限不存在，其右极限等价于$\displaystyle \lim_{x \to \infty}e^x$

无穷

无穷小

当函数某个点（或者$\infty$）的极限是$0$时，就说这个函数是趋于这个点（或$\infty$）的无穷小

事实上，无论函数$f(x)$趋向于何值$A$，都有$f(x)=A+a$，这个$a$就是所谓的无穷小，只有当前面的$A$为$0$时，这个$a$才值得关注

另外，这个$A$也被称为主部

无穷小之间亦有差距

这节若无特殊说明，则都有$\displaystyle \lim_{x \to 0}$

如果上面的主部$A$为$0$，那$a$中的最大的值自动晋升为新的主部，无穷小之间的比较都是比的主部的大小，更小的无穷小被称为高阶无穷小，反之则是低阶无穷小

比如$x^2$相比$x$就是高阶无穷小，而对$x^3$就变成了低阶无穷小

$2x$和$x$是同阶无穷小，但不等价，$x$与$x$显然是等价无穷小（比值为$1$

由于$\displaystyle \frac{x^6}{x^{2^3}}=1$所以$x^6$是$x^2$的$3$阶无穷小

不同的无穷小之间要通过等价无穷小转换

无穷大

就是$±\infty$，但是这玩意不是一个数，所以又被称作不存在

显然的性质

不证了

有限个无穷小的和仍然是无穷小

有界函数与无穷小的乘积还是无穷小（比如$\lim_{x \to \infty}的 \sin x,\cos x,\arctan x$

渐进线

有三种形态

水平的

就是$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=A$，就说在$y=A$处有条水平渐近线

竖直的

就是$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=\infty$，就说在$y=\infty$处有条铅直渐近线 （要验左右极限

斜的

之后再补

超级重要的极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1,\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$

用来算极限的

其他的等价无穷小在这

还有个东西叫夹逼定理（准则），很好理解就懒得写出来了

如果不连续了呢

函数有两类间断点，间断点就是函数在这个点上不连续

可去间断点和无穷间断点考得比较多

第一类

第一类间断点都长得比较好看，通常是由于分母不能为$0$和分段函数导致的

第一类可去间断点是指这个点不能有定义，或者是这个点的定义和它的极限并不一样，像是

$$y=\frac{x^2-1}{x-1}和y= \left\{ \begin{aligned} &x,x≠1,\\ &\frac{1}{2},x=1. \end{aligned} \right.$$

前者的$x=1$，后者的$x=1$都是可去间断点

第一类跳跃间断点则基本是分段函数的杰作，像是

$$y=\left\{ \begin{aligned} &x-1,x<0,\\ &0,x=0, \\ &x+1,x>0 \end{aligned} \right.$$

$x=0$就是个跳跃间断点

第二类

无穷间断点是指这个点至少有一边的极限变成了$\infty$于是连不起来，比如

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x = \infty$ 震荡间断点就是函数在这个点的值会无限变动，不能确定，像是

$\lim_{x \to 0}\sin \frac{1}{x}$

⭐极限通用计算步骤

遇到$\displaystyle \frac{0}{0}$时优先使用因式分解将$0$约掉，之后就可以算出具体的值了

如果不能分解，就使用传说中的洛必达，洛个一两次就能得出答案了

如果洛也洛不出来（太复杂了），就使用传说中的泰勒展开吧

如果遇到的是$\infty - \infty$，那就通分将其化为$\displaystyle \frac{0}{0}$（没有分母就换元造$\displaystyle x=\frac{1}{t}$

如果遇到的是$\infty×0$，那就变成$\displaystyle \frac{0}{\frac{1}{\infty}}$，这样就相当于$\displaystyle \frac{0}{0}$了

如果是$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$的话，上下同处以上下最大的$\infty$就能算了

同时还要使用等价无穷小和换元来将式子化为最好算的形式，对于无穷小之间的加减法要极为慎重，因为可能会把主部消掉，但是无穷小部分其实还是存在的！

显然，这三种情况是不会考的：$\displaystyle \frac{k}{\infty} = 0,0-0=0,\infty + k=\infty$