无穷的级数

无穷级数

我觉得这玩意也可以叫做项数无限的数列吧

如果一个级数 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} u_i$ 的部分和数列 $\{ s_n \}$ 有极限，就是

$$\lim_{n \to \infty} s_n = s$$

那 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} u_i$ 就是收敛的，反之则发散

正项级数

插播一条：对 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ ，如果 $p>1$ 则收敛， $p \leq 1$ 则发散

每一项都是正数的级数就是正项级数

显然对于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 两个正项级数，如果 $u_n\leq v_n$ 恒成立，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；而如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，那 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散（这叫比较审敛法）

比较审敛法还有极限形式，如果 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0 \leq l \leq +\infty)$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛（就是说 $u_n$ 是 $v_n$ 的 $l$ 倍），反之如果 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l>0$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，那 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散

如果对正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 有

$$\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$$

$\rho<1$ 那级数收敛， $\rho>1$ 那级数发散， $\rho=1$ 那就不能用这个方法（比值审敛法）

如果

$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$$

$\rho<1$ 那级数收敛， $\rho>1$ 那级数发散， $\rho=1$ 那就不能用这个方法（根值审敛法）

如果对正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 有

$$\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0$$

那它就发散，另外如果 $p>1$ 又有

$$\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l~(0\leq l <+\infty)$$

那它就收敛

交错级数

交错级数就是一个正一个负的级数

对于交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}u_n$ ，如果同时满足 $u_n \geq u_{n+1}$ 和 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0$ ，那它就是收敛的，还有和 $s<u_1$ 啥的显然易得结论

这个结论叫做莱布尼兹定理

对于任意级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ ，如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，那这个级数绝对收敛，如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，那这个级数条件收敛

幂级数

像 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ 这样的级数就是幂级数

显然如果 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 在 $x=x_0(x\neq0)$ 的时候收敛，那这个级数对所有 $|x|<|x_0|$ 的 $x$ 都是绝对收敛的；反之如果在 $x=x_0$ 的时候发散，那这个级数对所有 $|x|>|x_0|$ 的 $x$ 都是发散的

通过这点，专家推断出幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 存在一个范围 $R$ ，所有绝对值小于 $R$ 的 $x$ 都会使其绝对收敛，绝对值大于 $R$ 的 $x$ 都会使其发散，而 $x=R$ 或 $x=-R$ 时收敛和发散就不好说了

专家管 $R$ 叫这个级数的收敛半径， $(-R,R)$ 叫它的收敛区间

那这个收敛半径要怎么算呢？非常简单

还是对 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 这个级数，如果

$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho$$

如果 $\rho\neq0$ 或 $\rho\neq\infty$ ，那 $\displaystyle R=\frac{1}{\rho}$ ，否则 $R=+\infty(\rho=0)$ 或 $R=0(\rho=+\infty)$

你也可以用

$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right|<1$$

这个式子来求收敛半径（如果熟练了的话

有关幂级数的和函数

专家把 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的和函数记作 $s(x)$ ，它有许多性质

• $s(x)$ 在 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛域 $I$ 上亦收敛
• $s(x)$ 在 $I$ 上可导也可积

积分和求导都要逐项来求

这是积分：

$$\int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n]dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^ndt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$$

这是求导：

$$s'(x)=(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)'=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}$$

这样积分和求导得到的新的幂函数的收敛半径不变

很多时候题目都会要求某个幂级数的和函数，这时除了要用上面的两种计算外，还要动用一些之前已经知道的展开，这些展开在下面一节也要大量使用

把函数展开成幂级数

原理懒得看了，反正也看不懂，只需要记住那些已知的展开，就能凑出来别的了

但还是再写一遍吧，还是有些补充的

$$\begin{align} &e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n ~(-\infty<x<+\infty) \\ &\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} ~(-\infty<x<+\infty) \\ &\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n ~(-1<x<1) \\ &\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n ~(-1<x<1) \\ &\ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n} ~(-1<x<1) \\ &\cos x = \sum_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} ~(-1<x<1) \\ &a^x=e^{x\ln a}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!}x^n ~(-\infty<x<+\infty) \\ &\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} ~(-1<x<1) \\ &\arctan x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} ~(-1\leq x \leq 1) \end{align}$$

专家说反正只要记住前六个那别的都基本可以推出来了，算别的那都是凑

比如说专家要让你把 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}$ 展开成 $(x-1)$ 的幂级数，那首先就要

$$\begin{align} f(x)&=\frac{1}{x^2+4x+3} = \frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)} \\ &=\frac{1}{4(1+\frac{x-1}{2})}-\frac{1}{8(1+\frac{x-1}{4})} \\ &=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{x-1}{2})^n - \frac{1}{8}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(\frac{x-1}{4})^n \\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{n+3}})(x-1)^n ~(-1<x<3) \end{align}$$

最后得出的范围是两个展开的范围的交集

用到别的展开式那也是差不多的

这个展开还能拿来算某些东西的近似值，不过很难算就是了

傅里叶级数

傅里叶级数就是把函数展开成三角函数组成的级数

大概是这样：

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n \sin nx)$$

然后这两个 $a$ 和 $b$ 的计算方法是

$$\begin{align} &a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx ~(n=0,1,2,3,\cdots), \\ &b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx ~(n=1,2,3,\cdots) \end{align}$$

展开直接套公式喵，上面的系数叫做傅里叶系数，那个式子就是一个周期为 $2\pi$ 的函数的傅里叶级数本尊

如果这个函数 $f(x)$ 在一个周期只有有限个第一类间断点和有限个极值点，那么在它的连续点上，级数收敛于 $f(x)$ ，在间断点上，级数收敛于两端极限的平均值，即 $\frac12 [f(x^-)+f(x^+)]$

如果 $f(x)$ 是奇函数或偶函数的话，得到的傅里叶级数也是不一样的

如果 $f(x)$ 是奇函数，那么 $f(x)\cos nx$ 是奇函数， $f(x)\sin nx$ 是偶函数，于是上面的式子就能变成

$$\begin{align} &a_n=0, \\ &b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx ~(n=1,2,3,\cdots) \end{align}$$

对应的傅里叶级数叫做正弦级数，长这样

$$\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx$$

如果 $f(x)$ 是偶函数，那也有 $f(x)\cos nx$ 是偶函数， $f(x)\sin nx$ 是奇函数，得到

$$\begin{align} &a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx dx ~(n=0,1,2,3,\cdots), \\ &b_n = 0 \end{align}$$

得到的傅里叶级数就是余弦级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx$$

如果 $f(x)$ 的周期不是 $2\pi$ 的话，