我还要成为定积佬！

部分累积

会我要成为不定积佬！默认就会定积分了

定积分就是求某段导函数与$x$轴围成的面积，至少一重积分是这样……

$$\int_a^bf(x)\, dx=I=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^nf(\xi)\, \Delta x_i$$

$a$和$b$分别为积分下限和积分上限，也就是求$a$到$b$下的面积，这个面积是有方向的

[!NOTE] 有个定义副产品，用来算极限的

虽然我也不知道是干什么的

$$\int_0^1f(x)\, dx=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^nf(\frac{1}{n})\frac{1}{n}$$

性质

显然，当$a=b$时有

$$\int_a^bf(x)\, dx=0$$

另外对所有定积分都有

$$\int_a^bf(x)\, dx=-\int_b^af(x)\, dx$$

不定积分那的某个性质也可以用

$$\int_a^b[\alpha f(x) + \beta f(x)]\, dx = \alpha \int_a^bf(x)\, dx + \beta \int_a^bg(x)\, dx$$

然后这还有个结论对于任何实数$c$都成立：

$$\int_a^bf(x)\, dx = \int_a^cf(x)\, dx + \int_c^bf(x)\, dx$$

就是把面积分成了两块分别求

下面一个性质名字还挺霸气：定积分中值定理

如果$f(x)$在$[a,b]$上连续，那$[a,b]$间至少有一个$\xi$使

$$\int_a^bf(x)\, dx=f(\xi)(b-a)$$

这个$f(\xi)$实际上是$f(x)$在$[a,b]$上的平均值

怎么算

法一

通过图像秒杀

比如有一个

$$\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\, dx$$

实际上就是求$y=\sqrt{1-x^2}$在$[-1,1]$上的积分，那不就是个半圆吗？！

我们发现两边平方就变成了$y^2=1-x^2$，居然是个单位元，真是太神奇了，要求的就是这个圆的上半部分，小学生都会做

法二

==对称加奇（函数） 秒杀==

显然奇函数在原点两端的面积是相反的，所以只要积分上下限是相反数，也就是对称，那这时面积就是$0$啊

法三

一个朴实无华的方法，但是有个高大上的名字：牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本定理）

$F(x)$是$f(x)$的某个原函数，则

$$\int_a^bf(x)\, dx = F(b) - F(a)$$

这需要先求出不定积分，然后再算两个点的值最后相减，非常的好用

积分上限函数

对于一个积分，其上限为$x$，那它就是个积分上限函数，记为$\displaystyle \Phi(x)=\int_a^xf(t)\, dt$

而且它的导数有以下性质：

$$\Phi'(x)= \frac{d}{dx} \int_a^xf(t)\,dt=f(x)$$

也就是说它的导数就是$f(x)$

换元

和不定积分是类似的，但由于自变量换了，积分上下限也得换

还有一个重要的公式

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x,\cos x)\, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x,\sin x)\, dx$$

人话来讲，就是在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的积分，$\sin x$变成$\cos x$，同时$\cos x$变成$\sin x$而值不变

不正常的

反常积分就是要扯到$\infty$的定积分，分为两种

第一种

像

$$\lim_{t \to +\infty} \int_a^tf(x)\, dx$$

这样求到无限远处的积分就是一种反常积分，叫做$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty]$上的反常积分

如果原函数趋于$+\infty$能算的话，也就是说$\lim_{t \to +\infty} F(t) - F(a)$这个值存在极限（不是$\infty$）时，这个反常积分是收敛的。反之如果它不存在，这个值就是发散的

[!NOTE] 注意：

反常积分不能用对称加奇算

至于反过来

$$\lim_{t \to -\infty} \int_t^af(x)\, dx$$

也是一样的，要算$\lim_{t \to -\infty} F(a) - F(x)$的值

再进一步，对于

$$\lim_{a \to -\infty,b \to +\infty} \int_a^bf(x)\, dx$$

只要分别算

$$\lim_{a \to -\infty} \int_a^0f(x)\, dx和\lim_{b \to +\infty} \int_0^bf(x)\, dx$$

就好了，如果其中有一个发散，那整个积分就是发散的

第二种

下面的表述可能在数学上并不准确

[!NOTE] 注意：

这个反常积分也不能用对称加奇算

对于一个无界函数，如果$\lim_{x \to a} f(a)=\infty$，那$a$就是$f(x)$的瑕点，这无界函数的积分又叫瑕积分

如果一个函数有$a,b$两个瑕点，$a<b$，在区间$(a,b)$上的积分就是

$$\lim_{t \to a^+, u \to b^-} \int_t^u f(x)\, dx$$

要做的仅仅是求$F(u) - F(t)$的值，如果是$\infty$就是发散，反之则收敛

应用

由于定积分的由来就和面积很有关系，所以拿来算函数下面积也是合情合理的

反正就是把面积切成一条条的方便算啦，据说这种方法叫元素法，拿来算体积也是可以的，只要知道怎么算圆的面积

[!TIP] 有时候会用到极坐标！

用勾股定理还能算弧长